《證明線段相等,角相等,線段垂直》的方法總結(jié)

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1、《線段相等，角相等，線段垂直》方法總結(jié)一.證明線段相等的方法：1.中點(diǎn)2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子，兩邊依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的非零的數(shù)或式子，兩邊依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（a,b≠0或a=b，c≠0）3.全等三角形4借助中介線段（要證a=b，只需要證明a=c，c=b即可）二.證明角相等的方法1.對(duì)頂角相等2.等式的性質(zhì)3.角平分線4垂直的定義5.兩直線平行（同位角，內(nèi)錯(cuò)角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的補(bǔ)

2、角相等10等角的補(bǔ)角相等11.三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和三．證明垂直的方法1.證明兩直線夾角=90°2.證明鄰補(bǔ)角相等3.證明鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直94證明三角形兩內(nèi)角之和=90°5.垂直于平行線中的一條直線，必定垂直于另一條6.證明此角所在的三角形與已知的直角三角形全等《線段相等，角相等，線段垂直》經(jīng)典例題1.利用角平分線的定義例題1.如圖，已知AB=AC，AD//BC，求證2、基本圖形“雙垂直”　　本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直（需對(duì)其對(duì)稱性形成感覺）。例題2.如圖，，與的面積相等．求證：OP平分．　　　　

3、　　　　　　　　　　　例題3、如圖，，E是BC的中點(diǎn)，DE平分．求證：AE是的平分線．　　　　　3.利用等腰三角形三線合一　　例題4.正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE=DC+CE，求證：AF平分∠DAE。94.利用定理　　定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上?！　±?.如圖，已知ΔABC的兩個(gè)外角∠MAC、∠NCA的平分線相交于點(diǎn)P，求證點(diǎn)P在∠B的平分線上?！　　　?..和平行線結(jié)合使用，容易得到相等的線段?！　』緢D形：　　　P是∠CAB的平分線上一點(diǎn)，PD∥AB，則有∠1=∠2=∠3，

4、所以AD=DP。例6.如圖，ΔABC中，∠B的平分線與∠C外角的平分線交于D，過D作BC的平行線交AB、AC于E、F，求證EF=BE-CF。　6.利用角平分線的對(duì)稱性?！　±?.如圖，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分線，P是AD上一點(diǎn)，求證AB-AC>PB-PC?！　?.角平分線與垂直平分線綜合　　例題8、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延長線于F．9　?。?）求證：BE=CF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　《線段相等，角相等，線段垂直》經(jīng)典例

5、題（解答部分）一、平分線的應(yīng)用。　　幾何題中，經(jīng)常出現(xiàn)“已知角的平分線”這一條件。這個(gè)條件一般有下面幾個(gè)方面的應(yīng)用：　　（1）利用“角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”的性質(zhì)，證明兩條線段相等?！　。?）利用角是軸對(duì)稱圖形，構(gòu)造全等三角形?！　。?）構(gòu)造等腰三角形。二、應(yīng)用舉例：　　1.利用角平分線的定義例題1.如圖，已知AB=AC，AD//BC，求證AD平分∠EAC?！　∽C明：因AB=AC，故∠B=∠C?！　∮忠駻D//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，　　故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。2、基本圖形“雙垂直”　　本節(jié)常用輔助線

6、是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直（需對(duì)其對(duì)稱性形成感覺）。例題2.如圖，，與的面積相等．求證：OP平分．　　　　　　　　　　　　　　　　　分析：觀察已知條件中提到與，顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定結(jié)論可得?！　∽C明：作于M，于N　　　　　，，且　　　　　　　　　　又9　　　　　　　　　　又　　　　　平分例題3、如圖，，E是BC的中點(diǎn)，DE平分．求證：AE是的平分線．　　分析:在初一學(xué)習(xí)平行線時(shí)就圍繞這個(gè)圖做過很多練習(xí)，當(dāng)時(shí)我們證明過DE垂直AE等。還是這個(gè)圖條件變了，由角平分線

7、條件不難想到做輔助線構(gòu)造“雙垂直”的基本圖形，用“角平分線性質(zhì)”推得距離相等，再由另一側(cè)距離相等用“角平分線判定”AE為角平分線。　　證明：作于F　　　　　平分，，　　　　　　　　　　又E是BC的中點(diǎn)　　　　　　　　　　　　　　　又，　　　　　AE是的平分線　3.利用等腰三角形三線合一　　例題4.正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE=DC+CE，求證：AF平分∠DAE。證明：連結(jié)EF并延長，交AD的延長線于G，則ΔFDG≌ΔFCE，　　故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE?！　∮忠駿

8、F=GF，故AF是等腰三角形的底邊上的中線，于是AF平分∠DAE。4.利用定理　　定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。　　例5.如圖，已知ΔABC的兩個(gè)外角∠MAC、∠NCA的平分線相交于點(diǎn)P，求證點(diǎn)P