專(zhuān)題復(fù)習(xí) 證明線段相等角相等的基本方法(一)

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1、專(zhuān)題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法(一)一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系如在一個(gè)三角形中或在兩個(gè)三角形中，利用等邊對(duì)等角、或三角形全等證明角相等線段相等的基本方法.過(guò)程與方法：使學(xué)生在根據(jù)角或邊的位置關(guān)系確定證明角相等或線段等的方法過(guò)程中，體驗(yàn)證明角相等線段相等的基本方法，在交流的過(guò)程中感受和豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：激活學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，使每個(gè)學(xué)生按照自己的習(xí)慣進(jìn)行提取、存儲(chǔ)信息，形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，獲得不同的發(fā)展.二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系確定證明角相等線段相等的基本方法.教學(xué)

2、難點(diǎn)：分析圖形的形狀特征，識(shí)別角或線段的位置關(guān)系，確定證明方法.三、教學(xué)用具：三角板、學(xué)案等四、教學(xué)過(guò)程：（一）引入：相等的線段和角是構(gòu)成特殊幾何圖形的主要元素，也是識(shí)別特殊圖形的主要依據(jù)；運(yùn)用三角形全等證明線段相等角相等，常出現(xiàn)在中考15題左右的位置，是北京市中考必考內(nèi)容；運(yùn)用全等三角形的知識(shí)尋求經(jīng)過(guò)圖形變換后得到的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)元素間的關(guān)系，常與特殊圖形結(jié)合，出現(xiàn)在綜合題中.（二）例題：例1已知：如圖1，△ABC中，AB=AC，BC為最大邊，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，BD=CE，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF=CD.求證：∠DEF=∠DFE.分析：要證在一個(gè)三角形中的兩角

3、相等，考慮用等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì)等角）來(lái)證；因要證的兩條相等的邊在兩個(gè)三角形中，故利用三角形全等來(lái)證線段相等．8圖1證明：∵AB=AC∴∠B=∠C．在△BDF和△CED中，點(diǎn)撥：抓住圖形的特征（兩角在一個(gè)圖形中）常用等邊對(duì)等角證明，這是證兩角相等的常用方法．例2已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=，于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE=BC,過(guò)E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證AB=FC.分析：觀察AB與FC在圖形中的位置，發(fā)現(xiàn)這兩條線段分別位于兩個(gè)三角形中，考慮用三角形全等來(lái)證明．準(zhǔn)備三角形全等的條件時(shí)，已知一對(duì)角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，還需證另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；已知條件有直角

4、，故利用同角的余角相等來(lái)證.圖1證明：∵于點(diǎn)，∴，易證．∴.∴．點(diǎn)撥：根據(jù)圖形特征，要證明相等的兩邊分別在兩個(gè)三角形中，常利用證明兩邊所在的兩個(gè)三角形全等來(lái)證．在證明兩角相等時(shí)，利用了同角的余角相等證明，也可用等角的余角相等來(lái)證，但較復(fù)雜．圖1-2DCEAB圖1-1例3兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板如圖1-1所示放置，圖1-2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．求證：∠ABE=∠ACD．分析：圖1-82是由兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)圖形，分別從一個(gè)等腰三角形取一條腰，夾角為等角加同角，就可構(gòu)成邊角邊對(duì)應(yīng)相等的與全等，從而可證全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．證明：與

5、均為等腰直角三角形,，，．易證.．∴∠ABE=∠ACD．點(diǎn)撥：由有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)分別從一個(gè)等腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形；證夾角相等時(shí)常用等角加同角的和相等．此題可以拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等．例4點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作和，連接AF，CE．取AF、CE的中點(diǎn)M、N，連接BM，BN，MN．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，且，則是三角形．（2）如圖1-2，在和中，若BA=BE,BC=BF,且，則是三角形，且.（3）如圖1-3，若將（2）中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件

6、不變，那么（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出你的證明；若不成立，寫(xiě)出正確的結(jié)論并給出證明.分析：（1）判斷三角形形狀時(shí)，三角形一般是特殊三角形，由已知易知8，又可證得∠MBN=90°，所以△MBN為等腰直角三角形．（2）圖形中是兩個(gè)等腰三角形以公共頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)而成，則一個(gè)等腰三角形取一腰，構(gòu)成兩個(gè)邊角邊全等三角形．解：（1）等腰直角（2）等腰（3）結(jié)論仍然成立證明：如圖1-3，易證△ABF≌△EBC.∴AF=CE，∠AFB=∠ECB.∵M(jìn),N分別是AF、CE的中點(diǎn),∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN.∠MBF=∠NBC.∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FB

7、N+∠NBC=∠FBC=.點(diǎn)撥：在圖形形狀發(fā)生變化時(shí)，抓住影響結(jié)論的主要條件是否變化，如果沒(méi)有變，則結(jié)論不變；如主要條件變，則結(jié)論變．在證明此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，圖形變化后的證明思想或證明方法，?？捎商厥猓ㄗ兓埃┑淖C法類(lèi)比得到．（三）練習(xí)：1．如圖1，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．求證：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．ACBDPQ圖1圖12．如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF8的邊CE上，連接BE、DG．(1)求證：BE＝D