2014年高考數(shù)學(xué)專題——等差數(shù)列

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1、2014年高考數(shù)學(xué)專題——等差數(shù)列——等差、等比數(shù)列是重要的、基本的數(shù)列，許多其它數(shù)列要轉(zhuǎn)化成這種數(shù)列來(lái)處理，要站好這塊地盤一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1．理解等差數(shù)列的概念和性質(zhì)；2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能用公式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1．定義：2．通項(xiàng)公式：，推廣：d=，d=是點(diǎn)列（n，an）所在直線的斜率.3．前n項(xiàng)的和：變式：=4．等差中項(xiàng)：若a、b、c等差數(shù)列，則b為a與c的等差中項(xiàng):2b=a+c5．性質(zhì):設(shè){an}是等差數(shù)列，公差為d,則(1)m+n=p+q,則am+an=ap+aq(2)an,an+m,an+2m……組成公差為md的等差數(shù)列.(3)Sn,S2n

2、-Sn,S3n-S2n……組成公差為n2d的等差數(shù)列.(4)當(dāng)n=2k-1為奇數(shù)時(shí)，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak(ak=a中)6．等差數(shù)列的判定方法(n∈N*)(1)定義法:an+1-an=d是常數(shù)(2)等差中項(xiàng)法:(3)通項(xiàng)法:(4)前n項(xiàng)和法:7．知三求二,可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量;或利用數(shù)列性質(zhì),三數(shù):,四數(shù)8.會(huì)從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問(wèn)題.三、雙基題目練練手1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()（A）（B）（C）（D）2.已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是()A5B4C3D23.等差數(shù)列{an}中，a10＜0，a11

3、＞0且a11＞

4、a10

5、，Sn為其前n項(xiàng)和，則()A.S10小于0，S11大于0B.S19小于0，S20大于0C.S5小于0，S6大于0D.S20小于0，S21大于04.已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，、．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于A．55B．70C．85D．100（?。?.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a2+a4+a15=p是一常數(shù)，則S13=6.在等差數(shù)列中,已知,則n=.簡(jiǎn)答:1-4.ACBC;3.a11＞

6、a10

7、=－a10，∴a10+a11=a1+a20＞0.∴S20=10（a1+a20）＞0.選B4.85.a2+a4+a15=p（常數(shù)），∴

8、3a1+18d=p，即a7=p.∴S13==13a7=p.6.設(shè)首項(xiàng)為,公差為,則四、經(jīng)典例題做一做【例1】(1)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34,后3項(xiàng)和為146,且所有項(xiàng)的和為390,求這個(gè)數(shù)列項(xiàng)數(shù).(2)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和前100項(xiàng)的和,求前110項(xiàng)的和解(1),(2)分析一:方程的思想,將題目條件應(yīng)用公式表示成關(guān)于首項(xiàng)與公差的兩個(gè)方程.解法一:設(shè)的首項(xiàng)為,公差,則分析二:運(yùn)用前n項(xiàng)和變式:解法二:為等差數(shù)列,故可設(shè),則解法三：方法提煉:本題是等差數(shù)列的基本計(jì)算,要求熟練準(zhǔn)確.題(1)利用了等差數(shù)列的性質(zhì)和前Sn公式的特點(diǎn);題(2)法一:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量,是重要的方法;法二利用了

9、前n項(xiàng)和公式的函數(shù)式特征.【例2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，（1）求常數(shù)p的值；（2）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列.分析：（1）注意討論p的所有可能值.（2）運(yùn)用公式an=求an.解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=pa1，若p=1時(shí)，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，與已知矛盾，故p≠1.則a1=0.當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.∵a1≠a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.8n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.∴=.則=，…，=.(n≥3)∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an

10、－an－1=a2.(n≥3)又a2-a1=a2,所以從第二項(xiàng)起每項(xiàng)減去前項(xiàng)的差是同一常數(shù).故{an}是以a2為公差，以a1為首項(xiàng)的等差數(shù)列.提煉拓展:證明等差數(shù)列的方法:1.由定義an-an-1=d,2.等差中項(xiàng),3.通項(xiàng)公式an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn例3．已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11…都有100項(xiàng)，問(wèn)它們有多少相同的項(xiàng)？并求出所相同項(xiàng)的和。分析一：兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來(lái)的先后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來(lái)兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)。解：設(shè)兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)按原來(lái)的前后次序組成的新數(shù)列為，則∵數(shù)列5，8，11，…和3，7，11…的公差分別為3與4又因?yàn)閿?shù)列

11、5，8，11，…和3，7，11…的第100項(xiàng)分別是302和399，所以兩個(gè)數(shù)列有25個(gè)相同的項(xiàng)。其和分析二：由條件可知兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可用不定方程的求解法來(lái)求解。解：設(shè)數(shù)列5，8，11，…和3，7，11…分別為設(shè)中的第n項(xiàng)與中的第m項(xiàng)相同，即根據(jù)題意得：從而有25個(gè)相同的項(xiàng)，且公差為12，其和(另法:由m=3r知第r個(gè)相同的項(xiàng)為b3r=12r-1…)方法提煉：法1:設(shè)兩數(shù)列中an=bm,求出n(或m)應(yīng)滿足的關(guān)系,再代回an(或bm)法