高考數(shù)學(xué)數(shù)列專題一__等差數(shù)列

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1、數(shù)列專題一等差數(shù)列【知識概要】1、等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2、等差中項(xiàng)：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。3、等差數(shù)列的判定方法：（1）定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列。（2）等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

2、：5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：6、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）對于等差數(shù)列，若，則（2）對于等差數(shù)列，若，則（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等差數(shù)列?！緮?shù)學(xué)思想】等差數(shù)列的基本運(yùn)算中涉及的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想?！镜淅治觥坷?、一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后再解.解：根據(jù)題意，得=24,－=27則設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為d,則解之得：∴=3+2（n－1）=2n+1.（方程思想）例2、等差數(shù)列{}中，++=－12

3、,且··=80.求通項(xiàng)分析：要求通項(xiàng)，仍然是先求公差和其中至少一項(xiàng)的問題而已知兩個(gè)條件均是三項(xiàng)復(fù)合關(guān)系式，欲求某項(xiàng)必須消元（項(xiàng)）或再弄一個(gè)等式出來解：+=2=－10,=2或=2,=－10∵d=∴d=3?或－3∴=－10+3(n－1)=3n－13或=2－3(n－1)=－3n+5（靈活運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)減少計(jì)算量）例3、在等差數(shù)列{}中,已知＋＋＋＋＝450,求＋及前9項(xiàng)和.解：由等差中項(xiàng)公式：＋＝2，＋＝2由條件＋＋＋＋＝450,得5＝450,＝90,∴＋＝2＝180.＝＋＋＋＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋＝9＝810.（靈活運(yùn)用等差

4、數(shù)列性質(zhì)減少計(jì)算量）例4、在等差數(shù)列中若，，求.解：∵6+6=11+17+7=12+2……∴……∴+2∴=2-=2×80-30=130（整體代換的思想）例5、如果一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求公差；分析：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，等差數(shù)列中通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中五個(gè)量，只要知道其中三個(gè)，就可以求其它兩個(gè)，而是基本量.解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為d，則（方程思想，子數(shù)列）例6、已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個(gè)數(shù).解：設(shè)三個(gè)數(shù)為a，公差為d，則這5

5、個(gè)數(shù)依次為a-2d，a-d,a,a+d,a+2d依題意：(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=且(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5即a2+2d2=且a=1∴a=1且d=當(dāng)d=時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是－、、1、、；當(dāng)d=－時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是、、1、、－.（巧設(shè)等差數(shù)列）例7、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn已知a3=12,S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范圍；(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一個(gè)值最大,并說明理由.解：(Ⅰ)依題意,有，即由a3=12,得a1=12－2d(3)將(3

6、)式分別代入(1),(2)式,得，∴(Ⅱ)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13因此,若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n,使得an＞0,an+1＜0,則Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0，即a6+a7＞0,a7＜0由此得a6＞－a7＞0因?yàn)閍6＞0,a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大。（此題可引申拓展，等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題——數(shù)列方法，函數(shù)方法）例8、等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn且S5=-5,S10=15,求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和Tn.解：設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為

7、d，首項(xiàng)為a1，由已知得5a1+10d=-5,10a1+45d=15解得a1=-3，d=1∴Sn=n(-3)+∴∵　∴｛｝是等差數(shù)列且首項(xiàng)為＝－3、公差為∴Tn=n×(-3)+（等差數(shù)列的判定，函數(shù)思想）【練習(xí)反饋】1、數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-2，公差為4的等差數(shù)列若an=bn,則n的值為（）（A）4（B）5（C）6（D）72、在等差數(shù)列{an}中,am=n,an=m,則am+n的值為（）（A）m+n（B）（C）（D）03、在等差數(shù)列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+

8、a6+a9的值為（）（A）30（B）27（C）24（D）214、一個(gè)直角三角形的三條邊成等差數(shù)列，則它的最短邊與最長邊的比為（）（A）4∶5（B）5∶