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1、等價無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文目錄1引言12等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì)12.1等價無窮小量的概念12.2等價無窮小量的重要性質(zhì)22.3等價無窮小量性質(zhì)的推廣23等價無窮小量的應(yīng)用53.1求函數(shù)的極限53.2等價無窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用63.3利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限63.4等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應(yīng)用74等價無窮小量的優(yōu)勢84.1運(yùn)用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢…………………………………………....................84.2等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢………………………………………...............95結(jié)論12參考文獻(xiàn)13
2、致謝14141引言等價無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價無窮小量的性質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實(shí),在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運(yùn)算過程中,無窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用好它的性質(zhì),往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會錯誤百出,有時還很難判斷錯在什么地方.因此,有必要對等價無窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識和理解,以便恰當(dāng)運(yùn)用,達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.2等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì)這部分在同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的?高等數(shù)學(xué)?、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的?數(shù)學(xué)分析?、馬振明老師和呂克噗老師的?微分習(xí)
3、題類型分析?、張?jiān)葡祭蠋煹?高等數(shù)學(xué)教學(xué)?以及SongQB,ShenJY.Onillegalcopinganddistributingdetectionmechanismfordigitalgoods[J].JournalofComputerResearchandDevelopment中做了詳細(xì)的講解,下面是我對這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識以及數(shù)學(xué)方法我對其進(jìn)行了證明.2.1等價無窮小量的概念定義若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個變化過程中的無窮小量.如函數(shù),sinx,1-cosx,ln(1+x)均為當(dāng)x→0時的無窮小量.對于數(shù)列只
4、有一種情形,即n→∞,如數(shù)列{}為n→∞時的無窮小量或稱為無窮小數(shù)列.注意：1)絕對值非常小的數(shù)不是無窮小量,0是唯一的是無窮小量的數(shù);無窮小量無限趨近于0而又不等于0.2)無窮小量是變量,與它的變化過程密切相關(guān),且在該變化過程中以零為極限.如函數(shù)當(dāng)x∞時的無窮小量,但當(dāng)x1時不是無窮小量.3）兩個（相同類型）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.無窮小量的比較141)若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時的同階無窮小量.特別當(dāng)則稱與是同階無窮小.2)若=1,則稱與是等價無窮小量,記為～.3)若=0,則稱是高階無窮小,記作=.注:并不是任意兩個無窮小均可
5、比較,如當(dāng)x→0時,與都是無窮小量,但它們不能進(jìn)行階的比較.等價無窮小量的重要性質(zhì)設(shè)α,α′,β,β′,γ等均為同一自變量變化過程中的無窮小,①若α～α′,β～β′,且lim存在,則lim=lim（）②若α～β,β～γ,則α～γ.性質(zhì)①表明等價無窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)②表明等價無窮小量的傳遞性.2.3等價無窮小量性質(zhì)的推廣α～α′,β～β′,且lim=c(≠-1),則α+β～α′+β′.證明因?yàn)閘im=14所以α+β～α′+β′.而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(≠-1)”這個條件,千篇一律認(rèn)為“α～α′,β～β′,則有α+β～α′+β′在同一變化過程中,～,～,且存在
6、,則=.證明因?yàn)?==.故結(jié)論得證.若α～α′,β～β′,且lim′存在,則當(dāng)≠0且lim存在,有l(wèi)im=lim′.證明因?yàn)?又α～α′,β～β′,于是,,,從而14=1,即～同理可證～.故命題得證.設(shè)在自變量的某一變化過程中,、、及、、都是無窮小量.①若～、～、且存在且,則有～.②若～、～、且存在且,則有～.③若～、～、～且存在且,則有.證明①因?yàn)?=.又因?yàn)?故上式等于1.②因?yàn)?4==.又因?yàn)?故上式等于1.③要證成立,只需證,因?yàn)椤?～,所以結(jié)論得證.性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡化了計(jì)算.但要注意條件“l(fā)im=c(≠-1)”,“≠0”的使用
7、.注意1）需要注意的是在運(yùn)用無窮小替換解題時,等價無窮小量一般只能在對積商的某一項(xiàng)做替換,和差的替換是不行的.2）以上性質(zhì)說明我們利用無窮小量的代換性質(zhì)將無窮小的等價替換推廣到和與差的形式,并對的不定式極限的求解作了簡化,使其適用的函數(shù)類范圍擴(kuò)大,從而簡化函數(shù)極限的運(yùn)算過程,對不定式極限的求解有很大的意義.3等價無窮小量的應(yīng)用等價無窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的?關(guān)于等價無窮小量量代換的一個注記?、王
