等價無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應用

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1、畢業(yè)論文（設計）等價無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應用　　　　　　　　　　　　　專業(yè)　　　　數(shù)學與應用數(shù)學　　　　　　　摘要　等價無窮小量具有很好的性質(zhì),靈活運用這些性質(zhì),無論是在求極限的運算中,還是在正項級數(shù)的斂散性判斷中,都可取到預想不到的效果,能達到羅比塔法則所不能取代的作用.通過舉例,對比了不同情況下等價無窮小量的應用以及在應用過程中應注意的一些性質(zhì)條件,不僅使這些原本復雜的問題簡單化,而且可避免出現(xiàn)錯誤地應用等價無窮小量.關鍵詞：等價無窮小量;極限;洛必達法則;比較審斂法;優(yōu)越性14ABST

2、RACTEquivalentInfinitesimalhavegoodcharacters,bothinoperationoftestforLimitanddeterminewhetherthepositiveseriesconvergesordiverges,ifthesequalitythatapplyflexiblycanobtainmoreeffect,theeffectioncannotbereplacebyL'HospitalRule.Thispapergiveexamplesandc

3、omparesomeinstancetopayattentiontoconditioninapplicationofEquivalentLimit,sothequestioncanbesimplyandavoiderrorinapplication.Keywords:equivalentinfinitesimal;limitation;l'hospital'srule;comparisontest;superiority.14目錄1引言12等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì)12.1等價無窮小量的概念1

4、2.2等價無窮小量的重要性質(zhì)22.3等價無窮小量性質(zhì)的推廣23等價無窮小量的應用53.1求函數(shù)的極限53.2等價無窮小量在近似計算中的應用63.3利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限63.4等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應用74等價無窮小量的優(yōu)勢84.1運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢…………………………………………....................84.2等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢………………………………………...............95結論12參考文獻13致謝14141引

5、言等價無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價無窮小量的性質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實,在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運算過程中,無窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用好它的性質(zhì),往往會使一些復雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會錯誤百出,有時還很難判斷錯在什么地方.因此,有必要對等價無窮小量的性質(zhì)進行深刻地認識和理解,以便恰當運用,達到簡化運算的目的.2等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì)這部分在同濟大學應用數(shù)學系主編

6、的?高等數(shù)學?、華東師范大學數(shù)學系的?數(shù)學分析?、馬振明老師和呂克噗老師的?微分習題類型分析?、張云霞老師的?高等數(shù)學教學?以及SongQB,ShenJY.Onillegalcopinganddistributingdetectionmechanismfordigitalgoods[J].JournalofComputerResearchandDevelopment中做了詳細的講解,下面是我對這部分的理解與總結.推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學的知識以及數(shù)學方法我對其進行了證明.2.1等價無

7、窮小量的概念定義若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個變化過程中的無窮小量.如函數(shù),sinx,1-cosx,ln(1+x)均為當x→0時的無窮小量.對于數(shù)列只有一種情形,即n→∞,如數(shù)列{}為n→∞時的無窮小量或稱為無窮小數(shù)列.注意：1)絕對值非常小的數(shù)不是無窮小量,0是唯一的是無窮小量的數(shù);無窮小量無限趨近于0而又不等于0.2)無窮小量是變量,與它的變化過程密切相關,且在該變化過程中以零為極限.如函數(shù)當x∞時的無窮小量,但當x1時不是無窮小量.3）兩個（相同類型）無窮小量之

8、和、差、積仍為無窮小量.4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.無窮小量的比較141)若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當時的同階無窮小量.特別當則稱與是同階無窮小.2)若=1,則稱與是等價無窮小量,記為～.3)若=0,則稱是高階無窮小,記作=.注:并不是任意兩個無窮小均可比較,如當x→0時,與都是無窮小量,但它們不能進行階的比較.等價無窮小量的重要性質(zhì)設α,α′,β,β′,γ等均為同一自變量變化過程中的無窮小,①若α～α′,β～β′,且lim存在,則lim=lim（）②若α～