等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用 應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、**大學(xué)理學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用　　　　　　姓名　　　　　　　　　　　學(xué)號(hào)　　　************　　　　　　　年級(jí)　2007級(jí)　　　　　　　　　專業(yè)　　　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)　　　　　　　系?。ㄔ海　　〕山虒W(xué)院　　　　　　　指導(dǎo)教師　******2013年8月13日摘要　等價(jià)無(wú)窮小量具有很好的性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì),無(wú)論是在求極限的運(yùn)算中,還是在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷中,都可取到預(yù)想不到的效果,能達(dá)到羅比塔法則所不能取代的作用.通過(guò)舉例,對(duì)比了不同情況下等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用以及在應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)注意的一些性質(zhì)條件,不僅使這些原本復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,而且可避免

2、出現(xiàn)錯(cuò)誤地應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量.關(guān)鍵詞：等價(jià)無(wú)窮小量;極限;洛必達(dá)法則;比較審斂法;優(yōu)越性目錄1引言12等價(jià)無(wú)窮小量的概念及其重要性質(zhì)12.1等價(jià)無(wú)窮小量的概念12.2等價(jià)無(wú)窮小量的重要性質(zhì)22.3等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣23等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用53.1求函數(shù)的極限53.2等價(jià)無(wú)窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用63.3利用等價(jià)無(wú)窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限63.4等價(jià)無(wú)窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用74等價(jià)無(wú)窮小量的優(yōu)勢(shì)84.1運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì)…………………………………………....................84.2等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)……………………………………….

3、..............95結(jié)論12參考文獻(xiàn)13致謝141引言等價(jià)無(wú)窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)僅僅在“無(wú)窮小的比較”中出現(xiàn)過(guò),其他地方似乎都未涉及到.其實(shí),在判斷廣義積分、級(jí)數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運(yùn)算過(guò)程中,無(wú)窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用好它的性質(zhì),往往會(huì)使一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會(huì)錯(cuò)誤百出,有時(shí)還很難判斷錯(cuò)在什么地方.因此,有必要對(duì)等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識(shí)和理解,以便恰當(dāng)運(yùn)用,達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.2等價(jià)無(wú)窮小量的概念及其重要性質(zhì)這部分在同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的?高等數(shù)學(xué)?、華東師范大

4、學(xué)數(shù)學(xué)系的?數(shù)學(xué)分析?、馬振明老師和呂克噗老師的?微分習(xí)題類型分析?、張?jiān)葡祭蠋煹?高等數(shù)學(xué)教學(xué)?。下面是我對(duì)這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法我對(duì)其進(jìn)行了證明.2.1等價(jià)無(wú)窮小量的概念定義若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過(guò)程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小量.如函數(shù),sinx,1-cosx,ln(1+x)均為當(dāng)x→0時(shí)的無(wú)窮小量.對(duì)于數(shù)列只有一種情形,即n→∞,如數(shù)列{}為n→∞時(shí)的無(wú)窮小量或稱為無(wú)窮小數(shù)列.注意：1)絕對(duì)值非常小的數(shù)不是無(wú)窮小量,0是唯一的是無(wú)窮小量的數(shù);無(wú)窮小量無(wú)限趨近于0而又不等于0.2)無(wú)窮小量是變量,與它的

5、變化過(guò)程密切相關(guān),且在該變化過(guò)程中以零為極限.如函數(shù)當(dāng)x∞時(shí)的無(wú)窮小量,但當(dāng)x1時(shí)不是無(wú)窮小量.3）兩個(gè)（相同類型）無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量.4）無(wú)窮小量與有界量的乘積為無(wú)窮小量.無(wú)窮小量的比較1)若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時(shí)的同階無(wú)窮小量.特別當(dāng)則稱與是同階無(wú)窮小.2)若=1,則稱與是等價(jià)無(wú)窮小量,記為～.3)若=0,則稱是高階無(wú)窮小,記作=.注:并不是任意兩個(gè)無(wú)窮小均可比較,如當(dāng)x→0時(shí),與都是無(wú)窮小量,但它們不能進(jìn)行階的比較.等價(jià)無(wú)窮小量的重要性質(zhì)設(shè)α,α′,β,β′,γ等均為同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小,①若α～α′,β～β′,且lim存在,則lim=l

6、im（）②若α～β,β～γ,則α～γ.性質(zhì)①表明等價(jià)無(wú)窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)②表明等價(jià)無(wú)窮小量的傳遞性.2.3等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣α～α′,β～β′,且lim=c(≠-1),則α+β～α′+β′.證明因?yàn)閘im=所以α+β～α′+β′.而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(≠-1)”這個(gè)條件,千篇一律認(rèn)為“α～α′,β～β′,則有α+β～α′+β′在同一變化過(guò)程中,～,～,且存在,則=.證明因?yàn)?==.故結(jié)論得證.若α～α′,β～β′,且lim′存在,則當(dāng)≠0且lim存在,有l(wèi)im=lim′.證明因?yàn)?又α～α′,β～β′,于是,,,從而=1,即～同理可證～.故命

7、題得證.設(shè)在自變量的某一變化過(guò)程中,、、及、、都是無(wú)窮小量.①若～、～、且存在且,則有～.②若～、～、且存在且,則有～.③若～、～、～且存在且,則有.證明①因?yàn)?=.又因?yàn)?故上式等于1.②因?yàn)?=.又因?yàn)?故上式等于1.③要證成立,只需證,因?yàn)椤?～,所以結(jié)論得證.性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使等價(jià)無(wú)窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡(jiǎn)化了計(jì)算.但要注意條件“l(fā)im=c(≠-1)”,“≠0”的使用.注意1）需要注意的是在運(yùn)用無(wú)窮小替換解題時(shí)