數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-等價無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用

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1、大學(xué)理學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計）等價無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用　　　　　　姓名　　　　　饒才英　　　　　　學(xué)號　　　************　　　　　　　年級　2007級　　　　　　　　　專業(yè)　　　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)　　　　　　　系　（院）　　　成教學(xué)院　　　　　　　指導(dǎo)教師　******2013年8月13日摘要　等價無窮小量具有很好的性質(zhì),靈活運用這些性質(zhì),無論是在求極限的運算中,還是在正項級數(shù)的斂散性判斷中,都可取到預(yù)想不到的效果,能達(dá)到羅比塔法則所不能取代的作用.通過舉例,對比了不同情況下等價無窮小量的應(yīng)用以及在應(yīng)用過程中應(yīng)注意的

2、一些性質(zhì)條件,不僅使這些原本復(fù)雜的問題簡單化,而且可避免出現(xiàn)錯誤地應(yīng)用等價無窮小量.關(guān)鍵詞：等價無窮小量;極限;洛必達(dá)法則;比較審斂法;優(yōu)越性目錄1引言12等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì)12.1等價無窮小量的概念12.2等價無窮小量的重要性質(zhì)22.3等價無窮小量性質(zhì)的推廣23等價無窮小量的應(yīng)用53.1求函數(shù)的極限53.2等價無窮小量在近似計算中的應(yīng)用63.3利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限63.4等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應(yīng)用74等價無窮小量的優(yōu)勢84.1運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢…………………………………………...

3、.................84.2等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢………………………………………...............95結(jié)論12參考文獻(xiàn)13致謝141引言等價無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價無窮小量的性質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實,在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運算過程中,無窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用好它的性質(zhì),往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會錯誤百出,有時還很難判斷錯在什么地方.因此,有必要

4、對等價無窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識和理解,以便恰當(dāng)運用,達(dá)到簡化運算的目的.2等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì)這部分在同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的?高等數(shù)學(xué)?、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的?數(shù)學(xué)分析?、馬振明老師和呂克噗老師的?微分習(xí)題類型分析?、張云霞老師的?高等數(shù)學(xué)教學(xué)?。下面是我對這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識以及數(shù)學(xué)方法我對其進(jìn)行了證明.2.1等價無窮小量的概念定義若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個變化過程中的無窮小量.如函數(shù),sinx,1-cosx,ln(1+x)均為當(dāng)x→0時

5、的無窮小量.對于數(shù)列只有一種情形,即n→∞,如數(shù)列{}為n→∞時的無窮小量或稱為無窮小數(shù)列.注意：1)絕對值非常小的數(shù)不是無窮小量,0是唯一的是無窮小量的數(shù);無窮小量無限趨近于0而又不等于0.2)無窮小量是變量,與它的變化過程密切相關(guān),且在該變化過程中以零為極限.如函數(shù)當(dāng)x∞時的無窮小量,但當(dāng)x1時不是無窮小量.3）兩個（相同類型）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.無窮小量的比較1)若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時的同階無窮小量.特別當(dāng)則稱與是同階無窮小.2)若=1,則稱與是等價無窮

6、小量,記為～.3)若=0,則稱是高階無窮小,記作=.注:并不是任意兩個無窮小均可比較,如當(dāng)x→0時,與都是無窮小量,但它們不能進(jìn)行階的比較.等價無窮小量的重要性質(zhì)設(shè)α,α′,β,β′,γ等均為同一自變量變化過程中的無窮小,①若α～α′,β～β′,且lim存在,則lim=lim（）②若α～β,β～γ,則α～γ.性質(zhì)①表明等價無窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)②表明等價無窮小量的傳遞性.2.3等價無窮小量性質(zhì)的推廣α～α′,β～β′,且lim=c(≠-1),則α+β～α′+β′.證明因為lim=所以α+β～α′+β′.而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3

7、)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(≠-1)”這個條件,千篇一律認(rèn)為“α～α′,β～β′,則有α+β～α′+β′在同一變化過程中,～,～,且存在,則=.證明因為===.故結(jié)論得證.若α～α′,β～β′,且lim′存在,則當(dāng)≠0且lim存在,有l(wèi)im=lim′.證明因為,又α～α′,β～β′,于是,,,從而=1,即～同理可證～.故命題得證.設(shè)在自變量的某一變化過程中,、、及、、都是無窮小量.①若～、～、且存在且,則有～.②若～、～、且存在且,則有～.③若～、～、～且存在且,則有.證明①因為==.又因為,故上式等于1.②因為==.又因為,故上

8、式等于1.③要證成立,只需證,因為～,～,所以結(jié)論得證.性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡化了計算.但要注意條件“l(fā)im=c(≠-1)”,“≠0”的使用.注意1）需要注意的是在運用無窮小替換解題