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《第11章正交小波構(gòu)造》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第11章正交小波構(gòu)造我們在上一章中集中討論了離散小波變換中的多分辨率分析，證明了在空間中存在正交歸一基，由作尺度伸縮及位移所產(chǎn)生的是中的正交歸一基。是尺度函數(shù)，在有的文獻中又稱其為“父小波”。同時，我們假定的正交補空間中也存在正交歸一基，它即是小波基，為小波函數(shù)，又稱“母小波”。本章，我們集中討論如何構(gòu)造出一個正交小波。所謂“正交小波”，指的是由生成的，或空間中的正交歸一基。Daubechies在正交小波的構(gòu)造中作出了突出的貢獻。本章所討論的正交小波的構(gòu)造方法即是以她的理論為基礎(chǔ)的。11.1正交小波概述現(xiàn)在舉兩個
2、大家熟知的例子來說明什么是正交小波及對正交小波的要求,一是Haar小波，二是Shannon小波。1.Haar小波我們在10.1節(jié)中已給出Haar小波的定義及其波形，見圖10.1.1(d)，Haar小波的尺度函數(shù)如圖10.1.1(a)所示。重寫其定義，即(11.1.1)(11.1.2)顯然,的整數(shù)位移互相之間沒有重疊，所以345，即它們是正交的。同理，。很容易推出和的傅里葉變換是注意式中實際上應(yīng)為。由于Haar小波在時域是有限支撐的，因此它在時域有著極好的定位功能。但是，由于時域的不連續(xù)引起頻域的無限擴展，因此，它
3、在頻域的定位功能極差，或者說頻域的分辨率極差。上一章指出，Haar小波對應(yīng)的二尺度差分方程中的濾波器是：，(11.1.5)它們是最簡單的兩系數(shù)濾波器。2.Shannon小波令(11.1.6)則(11.1.7)由于(11.1.8)所以構(gòu)成中的正交歸一基。稱為Shannon小波的尺度函數(shù)。由于，，由二尺度性質(zhì)，，因此(11.1.9)這樣，對，有345(11.1.10)于是可求出(11.1.11)讀者可很容易驗證(11.1.12)也即構(gòu)成中的正交歸一基。其實，從頻域可以看到，和各自及相互之間的整數(shù)移位都沒有重疊，因此它
4、們是正交的，如圖11.1.1所示。345圖11.1.1Shannon小波及其尺度函數(shù)度頻域波形顯然，Shannon小波在頻域是緊支撐的，因此，它在頻域有著極好的定位功能。但頻域的不連續(xù)引起時域的無限擴展，也即時域為Sinc函數(shù)。這樣，Shannon小波在時域不是緊支撐的，有著極差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中兩個極端的例子。自然，我們欲構(gòu)造的正交小波應(yīng)介于兩者之間。9.4節(jié)給出了能作為小波的函數(shù)的基本要求，即：應(yīng)是帶通的；由于，因此它應(yīng)是振蕩的；應(yīng)滿足(9.3.9)式的容許條件；還應(yīng)滿足
5、(9.4.4)式的穩(wěn)定性條件；此外，、最好都是緊支撐的。由二尺度差分方程，、均和、有著內(nèi)在的聯(lián)系。重寫(10.4.14)式和(10.4.15)式，有(11.1.13)(11.1.14)這兩個式子明確指出，正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼正交濾波器組作無限次的遞推來產(chǎn)生。這一方面給我們指出了構(gòu)造正交小波的途徑，另一方面也指出，在(11.1.13)和(11.1.14)式的遞推過程中還存在著一個收斂的問題，這就要求對小波函數(shù)還要提出更多的要求，如11.3節(jié)要討論的消失矩和規(guī)則性等問題。為說明這些問題，我們在下一節(jié)首先討論如
6、何由(11.1.13)和(11.1.14)式遞推求解和的問題，并說明其中可能存在的問題。11.2由遞推求解的方法。(10.4.4)式給出了由遞推求解和的方法。即(11.2.1a)(11.2.1b)345此即二尺度差分方程，對應(yīng)的頻域關(guān)系由(11.1.13)和(11.1.14)式給出。假定和事先是未知的，當(dāng)然(11.2.1)式無法利用，這時可用(11.1.13)式或(11.1.14)式遞推求解和。若令(11.2.2a)并用它來近似，那么(11.2.2a)式對應(yīng)的時域關(guān)系是(11.2.2b)式中,是由每兩點插入一個點
7、所得到的新序列。同理，是將每兩點插入個零所得的新序列。假定的長度為，則的長度為，的長度為，的長度為，,其余可類推。由此可以看出，(11.2.2)式卷積的結(jié)果將使的長度急劇增加。例如，若令，則345如此，當(dāng)趨近于無窮時，逼近，“逼近”連續(xù)函數(shù)，但這一“逼近”，需要將接近于無限長的壓縮回到有限的區(qū)間內(nèi)。由于的長度為，我們假定的“長度”也為，只不過此處范圍代表的是連續(xù)時間的序號。也即，的時間持續(xù)區(qū)間是，在這一范圍內(nèi)應(yīng)包含的所有點，壓縮比等于的長度/。MATLAB中的wavefun.m文件可以實現(xiàn)上述的遞推算法。對(11
8、.2.1a)式，若令(11.2.3)并令(11.2.4)則當(dāng)時，逼近尺度函數(shù)。若給定，則利用(11.2.3)式遞推的結(jié)果如圖11.2.1所示。由該圖可以看出，,都是階梯狀的分段連續(xù)曲線，當(dāng)時，已是一光滑的連續(xù)曲線。這說明，按給定的，(11.1.13)式求出的是收斂的。假定將改為，則由(11.2.3)和(11.2.4)式遞推的結(jié)果示于圖11.2.2[10,21]。這時的產(chǎn)生
