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《7.1正交小波基的構(gòu)造》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、信號(hào)多分辨表示與尺度函數(shù)一個(gè)正交小波基由一個(gè)母小波函數(shù)（motherwaveletfunction）ψ的伸縮和平移生成：????12tn?j2??ψψjn,()tj=∈(j)(,)nZ????2j22構(gòu)成L()R空間的一組規(guī)范正交基，也就是說(shuō)：?1nmjl==且ψψjn,,(),ttjlm()=??δδ(l)(nm)=?(1)?0其他利用正交小波基，我們可以把任一個(gè)能量有限的連續(xù)時(shí)間信號(hào)展開(kāi)成小波級(jí)數(shù)（Waveletseries）,就是說(shuō)，2?∈f()tLR()f()tf=∑∑jn∫()tψψjn,,
2、()tdtjn()t(2)其中，過(guò)程w(f;j,n)=ft)(ψt)(dt∫j,n稱作小波分解，相應(yīng)的系數(shù)稱作小波系數(shù)。另外，按照(2)式的級(jí)數(shù)展開(kāi)，從小波系數(shù)很容易恢復(fù)到原信號(hào)。于是，基于小波變換的信號(hào)處理可以用下面的框圖表示f()tw???→→(;,)fjn系數(shù)域處理→?w?(;,)fjn??→f?()t(3)分解重構(gòu)本質(zhì)上，小波分解是眾多正交基下函數(shù)展開(kāi)的一個(gè)特例。關(guān)鍵在于小波基獨(dú)特的多分辨結(jié)構(gòu)和時(shí)頻局部化特性使得它在信號(hào)處理時(shí)比其它的正交基（如：三角級(jí)數(shù)、正交多項(xiàng)式、一般的原子分解等）在計(jì)算上
3、更快速、在處理上更有效。不同于連續(xù)小波，正交小波基在相關(guān)結(jié)構(gòu)上具有更高的要求。因此，正交小波的構(gòu)造是非常具有技巧性的。構(gòu)造正交小波基的基本支撐是多分辨分析（Multiresolution---1---analysis,MRA）.7.1多分辨分析的基本概念定義7.1：多分辨分析(MRA)2一個(gè)L()R上的子空間序列{Vjj，∈Z}滿足下列5條性質(zhì):①嵌套性質(zhì)：Vj+1?Vj?j∈Z……VV?10??V1……②細(xì)分性質(zhì)：∞limVVjj==∩{}0j→∞j=?∞③完備性質(zhì)：∞2limVCjj==losur
4、eVLR(∪)()j→?∞j=?∞④多尺度關(guān)系：tf()tVf∈?jj()∈V+12⑤尺度內(nèi)結(jié)構(gòu)：存在V0的一組Rieze基由一個(gè)函數(shù)θ()t的整數(shù)平移構(gòu)成，即：Vs0=pantnn{θ()?∈,Z}(4)所謂Rieze基是指，存在正常數(shù)A,B>0使得?∈f()tV0f()ta=∑()(nθt?n)滿足：222∞Afa≤≤∑()nBf(5)n=?∞---2---從多分辨率分析的定義容易得出下列結(jié)論：?多分辨逼近2?∈fLR(),設(shè)P()f表示f(t)在子空間V上的正交投影，那jj么，2limfPf?j
5、()=0.j→?∞?∞這表明了，函數(shù)序列{(Pfjj)}=+∞當(dāng)j→?∞時(shí)依范數(shù)收斂于f()t。因此，函數(shù)序列Pj()f稱作函數(shù)f(t)的一個(gè)多分辨逼近。?多分辨基的相似結(jié)構(gòu)??jj/2Vj=?span{2(θ2)tnn,∈Z}(6)也就是說(shuō)，一旦知道了在某個(gè)多分辨子空間上的一個(gè)Rieze基，其它子空間上的Rieze基具有相似的結(jié)構(gòu)。證明：首先由性質(zhì)④，?jj/2?θθ()tnV?∈?02(2tnV?∈)jj?∈?f()tVftVj(2)∈0jf(2)ta=∑()(nθt?n)ij''?2,2ttt=
6、=tjj/2??/2j??????→f()ta=?∑(2()2n)(θ(2tn))這表明了這些函數(shù)張成了子空間V。下面說(shuō)明這些函數(shù)構(gòu)成Riezej基。jj?∈?f()tVftVj(2)∈0，f(2)ta=∑()(nθt?n)，因此，---3---jj222Af(2)?≤≤an()Bf(2)?j?j令t==2,xdx2dtjj222dt12f(2)?=∫∫RRf(2x)dx=ft()jj=f22jj/2??/2jf()ta=?∑(2()2n)(θ(2tn))于是，22jj/222jj2Af≤=2(an)
7、2a≤2(Bf2?)=Bf2這也表明了所有子空間的Rieze基具有相同的上下界。?雙尺度方程從θθ()t∈V01?=V?span{2(2tnn?∈),Z}可以得到θθ(th)=∑∑(nt)2(2)2(?=nhn)θ(2t?n)(7)nn上面的方程被稱作雙尺度方程。相應(yīng)的系數(shù)h(n)被稱作尺度濾波器。特別是，當(dāng)尺度濾波器滿足一個(gè)比較寬松的條件時(shí)，雙尺度方程存在2L(R)解，并且解在相差一個(gè)非零乘子意義下是惟一的。?正交多分辨分析如果函數(shù)θ()t滿足平移正交性，即?1nm=θ()tntm??=?,θδ()
8、(nm)=?(8)?0mn≠那么，{θ()tnn?∈,Z}構(gòu)成了子空間V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。進(jìn)一步，函數(shù)??jj/2族{2(θ2)tnn?∈,Z}構(gòu)成了子空間Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基。---4---結(jié)果，多分辨分析的每個(gè)多分辨子空間有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，相應(yīng)的多分辨分析稱作正交多分辨分析。與多分辨分析相聯(lián)系的另一個(gè)概念是多尺度分析（MultiscaleAnalysis）.多尺度分析是比多分辨分析更廣泛的一個(gè)概念。從應(yīng)用的角度看，信號(hào)的多尺度分析等同于在不同的分辨率下觀察
