第一講 定積分的數(shù)值計(jì)算

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1、第一講定積分的數(shù)值計(jì)算【主要目的】圍繞定積分的概念與數(shù)值計(jì)算方法這一大家非常熟悉的主題，突出數(shù)值實(shí)驗(yàn)、幾何觀察、數(shù)值分析等實(shí)驗(yàn)特性，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)與理論的對(duì)照，加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，學(xué)習(xí)如何從實(shí)驗(yàn)角度創(chuàng)新知識(shí)、發(fā)現(xiàn)知識(shí)，并上升到理論分析的角度?！局饕獌?nèi)容】定積分的數(shù)值計(jì)算方法，包括：矩形法、梯形法與辛普森法；對(duì)誤差的了解：精度與收斂速度引言首先回憶一下函數(shù)在區(qū)間上的定積分概念的建立過(guò)程?？紤]在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)的分法：把分割成個(gè)小區(qū)間，第個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為；任取數(shù)，做乘積，把所有這些乘積相加得到和式.如果無(wú)

2、論區(qū)間怎樣劃分及分點(diǎn)怎樣選取，當(dāng)時(shí)，該和式都趨于同一常數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，且稱此常數(shù)為在區(qū)間上的定積分，即。稱和式為積分和或黎曼和。在定積分的概念中包含了兩個(gè)任意性，即對(duì)區(qū)間的分割和點(diǎn)的選取都是任意的。顯然，對(duì)于區(qū)間的不同分割或者點(diǎn)的選取不同，得到的和式一般不同。定積分的定義中要求在對(duì)區(qū)間無(wú)限細(xì)分（）的條件下，所有這些和式都趨于同一數(shù)值。這一點(diǎn)初學(xué)者較難理解。我們將通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)加以理解。當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)，為在區(qū)間上的原函數(shù)時(shí)，我們可以用牛頓-萊布尼茲公式方便地求得。但是有些函數(shù)其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示出來(lái)，這樣對(duì)

3、應(yīng)的定積分通常也不能用牛頓-萊布尼茲公式算出其精確值。而且，在自然科學(xué)與工程技術(shù)中有許多問(wèn)題，被積函數(shù)并不是用具體函數(shù)表達(dá)式解析表示的，而經(jīng)常是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或測(cè)量方法用表格或圖形給出的，這就導(dǎo)出了定積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。我們將利用“分割取近似，作和求極限”這一定積分思想方法，來(lái)構(gòu)造一些數(shù)值計(jì)算方法，并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)一定積分概念的深化——達(dá)布和設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界?？紤]將將區(qū)間任意分割成個(gè)子區(qū)間（）的分法，設(shè)在子區(qū)間上的上、下確界分別為，稱為在子區(qū)間上的振幅，和式分別稱為關(guān)于該分割的達(dá)布（Darboux）大和與達(dá)布小和。由定義

4、可知，函數(shù)對(duì)應(yīng)于同一分割的積分和有無(wú)窮多個(gè)，但達(dá)布大和與達(dá)布小和卻都各只有一個(gè)。當(dāng)在區(qū)間上不連續(xù)時(shí)，達(dá)布和不一定是積分和，但它們都與積分和有著密切的聯(lián)系，容易知道對(duì)于同一分割，有.可以證明在區(qū)間上可積的充分必要條件是現(xiàn)在假定在區(qū)間上非負(fù)連續(xù)，那么達(dá)布大和在幾何上就表示在子區(qū)間上以為高所做的個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積；達(dá)布小和表示在子區(qū)間上以為高所做的個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積，它們的差就是這兩個(gè)階梯形面積之差。由于函數(shù)在區(qū)間上可積，所以當(dāng)，即當(dāng)區(qū)間被無(wú)限細(xì)分時(shí)，這兩個(gè)階梯形面積都趨于該曲邊梯形的面積，從而這兩個(gè)階梯形面積

5、之差為零，即.當(dāng)考慮對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分時(shí)，我們有相應(yīng)地將、分別記作和.特別，如果在區(qū)間上單調(diào)增加，那么達(dá)布小和就是左和，達(dá)布大和就是右和；如果在區(qū)間上單調(diào)減少，那么達(dá)布大和就是左和，達(dá)布小和就是右和，即數(shù)值實(shí)驗(yàn)1對(duì)區(qū)間上作等分，觀察在上的達(dá)布大和與達(dá)布小和之差隨增加時(shí)的變化趨勢(shì)。Mathematica程序（ch1-ex1.nb）實(shí)驗(yàn)過(guò)程：(1)改變分割次數(shù)，觀察；（2）改變被積函數(shù)觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與理解：從實(shí)驗(yàn)看出，對(duì)于函數(shù)，它在上的達(dá)布大和與達(dá)布小和之差隨增加而趨于0.達(dá)布大和與達(dá)布小和分別趨于曲邊三角形的面積。實(shí)驗(yàn)二定積

6、分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法——近似計(jì)算如果在區(qū)間上可積，那么我們已經(jīng)知道用它的左和或右和來(lái)逼近它，我們稱之為矩形求積公式。當(dāng)越大，逼近的精度越高。根據(jù)上述求積公式當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，，當(dāng)為減函數(shù)時(shí)，，我們甚至知道什么時(shí)候左和及右和給出的是過(guò)剩的近似值還是不足的近似值。從上面的數(shù)值實(shí)驗(yàn)例子可以看到，當(dāng)=2時(shí)，左和給出了一個(gè)相當(dāng)差的不足近似值，而右和也只給出了一個(gè)相當(dāng)差的過(guò)剩近似值。當(dāng)然，當(dāng)充分大時(shí)，它們都能給出好的近似值。但是，在給定的條件下，我們?nèi)绾涡薷挠?jì)算求積公式，使本例中左和與右和產(chǎn)生的不足與過(guò)剩相互抵消，提高計(jì)算的精度？一個(gè)辦法是根

7、據(jù)單調(diào)函數(shù)的特點(diǎn)，使用中點(diǎn)值，得到如下中點(diǎn)求積公式；另一辦法是取左和與右和的平均值，得到如下梯形求積公式.數(shù)值實(shí)驗(yàn)2在給定分割數(shù)的條件下，觀察使用左求積公式（左和）、右求積公式（右和）、中點(diǎn)求積公式、梯形求積公式近似計(jì)算定積分的值的精度情況。Mathematica程序（ch1-ex2.nb）實(shí)驗(yàn)過(guò)程：(1)改變分割次數(shù)，觀察；（2）改變被積函數(shù)觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與理解IntegrateValue=2.66666666666666667從實(shí)驗(yàn)中，我們看到，對(duì)于給定的條件下，使用左求積公式（左和）、右求積公式（右和）、中點(diǎn)求積

8、公式、梯形求積公式近似計(jì)算定積分的值時(shí)，中點(diǎn)公式具有最好的精度。隨著的增加，它們的精度也相應(yīng)提高。實(shí)驗(yàn)三更高的精度要求與收斂速度——對(duì)誤差的了解當(dāng)我們計(jì)算一個(gè)近似值時(shí)，總會(huì)涉及到誤差，即準(zhǔn)確的答案與近似值之差。我們從來(lái)不知道準(zhǔn)確的誤差，假如知道，也就知道準(zhǔn)確的答案了。因此，我們有必要對(duì)誤差有好的了解。記，其中是定積分