四面體外接球的球心、半徑求法

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1、四面體外接球的球心、半徑求法在立體幾何中，幾何體外接球是一個(gè)?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來說這是一個(gè)難點(diǎn)，一方面圖形不會(huì)畫，另一方面在畫出圖形的情況下無從下手，不知道球心在什么位置，半徑是多少而無法解題。本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。一、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！驹怼浚洪L(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)即【例題】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所

2、以：四面體外接球的直徑為的長(zhǎng)即：所以球的表面積為二、出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，,求球的體積。解：且，，，,因?yàn)樗灾运钥傻脠D形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn)，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。二、出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解【例題】：已知在三棱錐中，，，，求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空

3、間直角坐標(biāo)系由平面知識(shí)得設(shè)球心坐標(biāo)為則,由空間兩點(diǎn)間距離公式知解得所以半徑為【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式：二、四面體是正四面體處理球的“內(nèi)切”“外接”問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關(guān)系在高考中也是考查的重點(diǎn)，但同學(xué)們又因缺乏較強(qiáng)的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題圖1例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)

4、點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為．由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．正四面體的表面積．正四面體的體積，在中，，即，得，得【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為(為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中建立棱長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系。例2．設(shè)棱錐的底面是正方形，且，，如果的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.圖2解：?平面，由此，面面.記是的中點(diǎn)，從而.平面，設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖及內(nèi)切圓不妨設(shè)平面，

5、于是是的內(nèi)心.設(shè)球的半徑為，則，設(shè),.,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí)，滿足條件的球最大半徑為.練習(xí)：一個(gè)正四面體內(nèi)切球的表面積為，求正四面體的棱長(zhǎng)。（答案為：）【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)棱錐的對(duì)稱性確定內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)位置，作出截面圖是解題的關(guān)鍵。圖3圖4圖5二、球與棱柱的組合體問題1．正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2．與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3．正方體的外接球：

6、正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對(duì)角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。例3.在球面上有四個(gè)點(diǎn)、、、.如果、、兩兩互相垂直，且,那么這個(gè)球的表面積是______.解：由已知可得、、實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，連結(jié)過點(diǎn)的一條對(duì)角線，則過球心，對(duì)角線練習(xí)：一棱長(zhǎng)為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為）4．構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得

7、球半徑。例4.已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，則，正三棱柱的高為，由中，得，，練習(xí)：正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，求正四棱柱的側(cè)面積的最大值。（答案為：）【點(diǎn)評(píng)】“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特殊的點(diǎn)、線、面之間關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中解決問題，作出合適的截面圖來確定有關(guān)元素間的數(shù)

8、量關(guān)系，是解決這類問題的最佳途徑。勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為時(shí)，它的外接球半徑為。