多面體外接球半徑常見的求法

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1、多面體外接球半徑常見求法知識回顧：定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、公式法例1一個六棱柱的底面是正

2、六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個球的體積為.小結(jié)本題是運用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A.B.C.D.小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.三、補形法例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是

3、長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.變式1：變式2：三棱錐中，兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．四、尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，都在同一球面上，則此球的體積為.小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)

4、習(xí).變式1：求棱長為a的正四面體P–ABC的外接球的表面積變式2：正三棱錐的高為1，底面邊長為。求棱錐的內(nèi)切球的表面積。變式1：底面邊長為的正三棱柱外接球的體積為，則該三棱柱的體積為五、確定球心位置法例5在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.變式1：三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A．B．C．D．1.如圖，已知四棱錐P—ABCD，PB⊥AD.，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（I）求點P到

5、平面ABCD的距離，（II）求面APB與面CPB所成二面角的余弦值.