多面體外接球半徑常見的5種求法

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1、多面體外接球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.公式法例1一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３

2、，則這個球的體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有∴正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑..小結(jié)本題是運用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A.B.C.D.解設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得.∴.∴這個球的表面積是.選C.小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.補形法例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則

3、其外接球的表面積是.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴把這個三棱錐可以補成一個棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為，則有.∴.故其外接球的表面積.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為.解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所

4、示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得.又，∴球心必在所在的直線上.∴的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.∴.∴是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).確定球心位置法例5在矩形

5、中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.解設(shè)矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知.∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示.∴外接球的半徑.故.選C.