多面體外接球半徑常見(jiàn)的5種求法

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1、多面體外接球半徑常見(jiàn)的5種求法如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.公式法例1一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為３，則這個(gè)球的體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則有∴正六棱柱的底

2、面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑..小結(jié)本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A.B.C.D.解設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，外接球的半徑為，則有，解得.∴.∴這個(gè)球的表面積是.選C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.補(bǔ)形法例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球

3、.設(shè)其外接球的半徑為，則有.∴.故其外接球的表面積.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為.解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得.又，∴球心必在所在的直線上.∴的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.∴.∴是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最

4、佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).確定球心位置法例5在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知.∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示.∴外接球的半徑.故.選C.