復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算方法

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1、（定義法）1.計(jì)算函數(shù)沿下列曲線的積分.（2）為從點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)的折線.解：從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段參數(shù)方程為，在它上有，則，從點(diǎn)再到點(diǎn)的直線段參數(shù)方程為在它上有，則，于是由復(fù)積分對(duì)積分路徑的可加性可得4.計(jì)算沿下列曲線的積分.（1）為從到的直線段；（2）為從到的上半圓周；（3）為從到的下半圓周.解：（1）直線段的參數(shù)方程為在它上有，則（2）上半圓周的參數(shù)方程為在它上有，則（3）下半圓周的參數(shù)方程為在它上有，則6.設(shè)為從到的直線段，計(jì)算函數(shù)沿的積分.解:直線段參數(shù)方程為，在它上有則用Cauchy積分定理計(jì)算積分的值，且證明等式（1）解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)在積分路徑的外部，所以被積函數(shù)在閉區(qū)域上解析，于是由

2、Cauchy積分定理得（2）證明：圓周的參數(shù)方程為，在它上有于是由（1）得所以比較等式兩邊的虛部得注：此題常見錯(cuò)誤：因?yàn)樵谔幪幗馕?，所以非常?shù)實(shí)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析！3.試討論函數(shù)沿正向圓周的積分值，其中且.解：函數(shù)的奇點(diǎn)為.（1）當(dāng)時(shí)，的奇點(diǎn)在圓周的外部，所以在閉區(qū)域上解析，于是由Cauchy積分定理得（2）當(dāng)時(shí)，在圓周的內(nèi)部，則由解析函數(shù)積分的閉路變形原理可得（其中為任意實(shí)數(shù)）.5．計(jì)算下列積分值，其中積分路徑都取正向.（2）解：令，則有上面第一式令得；上面第二式令得.所以，于是1．計(jì)算下列積分，其中積分閉路取正向.（1）解：（4）解：（6）解：（8）解：被積函數(shù)有6個(gè)奇點(diǎn)，只有

3、在圓的內(nèi)部，于是函數(shù)在閉圓域上解析，則由Cauchy積分公式得4.用Cauchy積分公式計(jì)算函數(shù)沿正向圓周的積分值，然后利用圓周的參數(shù)方程證明下面積分（1）解：函數(shù)的奇點(diǎn)在積分路徑的內(nèi)部，而函數(shù)在閉區(qū)域上解析，于是由Cauchy積分公式得（2）證明：圓周的參數(shù)方程為，在它上有于是比較等式兩邊的虛部得又所以10.設(shè)和在簡(jiǎn)單閉路C上及其內(nèi)部解析，試證：（1）若在C上及其內(nèi)部處處不為零，則有（2）若在C上有則在C的內(nèi)部有證明：（1）因?yàn)樵诤?jiǎn)單閉路C上及其內(nèi)部解析并且處處不為零，則在簡(jiǎn)單閉路C上及其內(nèi)部處處解析，于是由Cauchy積分定理得（2）若對(duì)于C上的任意一點(diǎn)有由于和在簡(jiǎn)單閉路C上及其內(nèi)部解析

4、，則對(duì)于C的內(nèi)部的任意一點(diǎn)，由Cauchy積分公式得所以在C的內(nèi)部有一、將下列函數(shù)在指定環(huán)域內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)，且計(jì)算其沿正向圓周的積分值I.（1）解：環(huán)域的中心，對(duì)應(yīng)的Laurent級(jí)數(shù)展開式中取1，于是在環(huán)域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式為取得在環(huán)域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式的負(fù)一次冪系數(shù)，又正向圓周為環(huán)域內(nèi)圍繞環(huán)心的正向簡(jiǎn)單閉路，所以（3）解：環(huán)域的中心，對(duì)應(yīng)的Laurent級(jí)數(shù)展開式中取-1，于是在環(huán)域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式為在環(huán)域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式不含有負(fù)一次冪，則負(fù)一次冪系數(shù)，又正向圓周在環(huán)域內(nèi)部且正向圍繞環(huán)心，所以（5）解：環(huán)域的中心，對(duì)應(yīng)的Lauren

5、t級(jí)數(shù)展開式中取-i，于是在環(huán)域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式為取得在環(huán)域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式的負(fù)一次冪系數(shù)，又正向圓周在環(huán)域內(nèi)部且正向圍繞環(huán)心，所以2.利用留數(shù)計(jì)算下列沿正向圓周的積分.（2）解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)和都在圓的內(nèi)部，它們都是一級(jí)極點(diǎn)，且滿足留數(shù)的計(jì)算規(guī)則3的條件，則由規(guī)則3得于是由留數(shù)定理得（4）解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)在圓的內(nèi)部，它是二級(jí)極點(diǎn)，則利用留數(shù)的計(jì)算規(guī)則2得于是由留數(shù)定理得（6）（其中m為整數(shù)）解：當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)在圓內(nèi)部沒有奇點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)的奇點(diǎn)在圓的內(nèi)部，其中：當(dāng)時(shí)，是可去奇點(diǎn)，此時(shí)于是由留數(shù)定理得當(dāng)時(shí)，是級(jí)極點(diǎn)，則利用留數(shù)的計(jì)算規(guī)則2得于是由留數(shù)定理得綜合

6、可得：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為其他整數(shù)時(shí)，4.計(jì)算下列各積分，C為正向圓周.（1）解：被積函數(shù)在環(huán)域內(nèi)解析，它的五個(gè)奇點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部，用留數(shù)定理計(jì)算比較困難.該積分滿足5.2節(jié)定理2的條件，則由定理2得（2）解：被積函數(shù)在環(huán)域內(nèi)解析，它的奇點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部，其中為一級(jí)極點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)，由于在本性奇點(diǎn)的留數(shù)不容易計(jì)算，故用留數(shù)定理計(jì)算比較困難.該積分滿足5.2節(jié)定理2的條件，則由定理2得．利用留數(shù)計(jì)算下列定積分.（1）解：令，則，，從而有.函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)，在上無奇點(diǎn)，且,由留數(shù)定理得（3）解：滿足5.3節(jié)定理2推論的條件，在上半平面內(nèi)只有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，且，因此得注：此類型題常見的錯(cuò)誤：計(jì)

7、算中取函數(shù)的所有奇點(diǎn)而不是只取上半平面的奇點(diǎn)：錯(cuò)解：（5）解：函數(shù)在上半平面內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)，且，由5.3節(jié)定理3推論得，因此取其實(shí)部得注：此類型題常見的錯(cuò)誤：①計(jì)算中取函數(shù)的所有奇點(diǎn)而不是只取上半平面的奇點(diǎn)；②計(jì)算出留數(shù)后取實(shí)部或虛部再乘以得出結(jié)果，而不是計(jì)算出留數(shù)乘以后再取實(shí)部或虛部才得出結(jié)果。錯(cuò)解：注意：此類定積分題最后的結(jié)果一定是實(shí)數(shù)！