常微分方程復(fù)習(xí)(授)

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1、微分方程復(fù)習(xí)1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．1、基本概念線性微分方程：當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)全是一次冪時(shí)，微分方程就稱為線性微分方程．在線性微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則稱這樣的微分方程為常系數(shù)線性微分方程通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，

2、叫做微分方程的特解．初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.初值問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，叫初值問(wèn)題．1、基本概念(1)可分離變量的微分方程2、一階微分方程的解法2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)可化為齊次的方程解法化為齊次方程．2、一階微分方程的解法(4)一階線性微分方程方程稱為齊次的．方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為1、2、一階微分方程的解法2、非齊次微分方程的通解為(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.2、一階微分方程的解法

3、解法經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程．例33、可降階的高階微分方程的解法解法型接連積分n次，得通解．3、可降階的高階微分方程的解法特點(diǎn)型解法代入原方程,得3、可降階的高階微分方程的解法3、可降階的高階微分方程的解法特點(diǎn)型解法3、可降階的高階微分方程的解法例6解代入方程，得故方程的通解為3、可降階的高階微分方程的解法（1）　二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):4.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)例7解（１）　由題設(shè)可得：解此方程組，得（２）　原方程為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程

4、二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)推廣：階常系數(shù)齊次線性方程解法５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法待定系數(shù)法.６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二、典型例題例1解原方程可化為代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分所求通解為二、典型例題例2解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為二、典型例題原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為二、典型例題由解得所以原方程滿足

5、初始條件的特解為二、典型例題例3解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為二、典型例題由解得二、典型例題故原方程的通解為由即二、典型例題解例4則由牛頓第二定律得二、典型例題解此方程得代入上式得二、典型例題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題答案測(cè)驗(yàn)題答案