離散因變量和受限因變量模型

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1、第七章離散因變量和受限因變量模型通常的經(jīng)濟計量模型都假定因變量是連續(xù)的，但是在現(xiàn)實的經(jīng)濟決策中經(jīng)常面臨許多選擇問題。人們需要在可供選擇的有限多個方案中作出選擇，與通常被解釋變量是連續(xù)變量的假設相反，此時因變量只取有限多個離散的值。例如，人們對交通工具的選擇：地鐵、公共汽車或出租車；投資決策中，是投資股票還是房地產(chǎn)。以這樣的決策結果作為被解釋變量建立的計量經(jīng)濟模型，稱為離散被解釋變量數(shù)據(jù)計量經(jīng)濟學模型（modelswithdiscretedependentvariables），或者稱為離散選擇模型(discretechoicemodel,DCM)

2、。1在實際中，還會經(jīng)常遇到因變量受到某種限制的情況，這種情況下，取得的樣本數(shù)據(jù)來自總體的一個子集，可能不能完全反映總體。這時需要建立的經(jīng)濟計量模型稱為受限因變量模型（limiteddependentvariablemodel)。這兩類模型經(jīng)常用于調(diào)查數(shù)據(jù)的分析中。2§7.1二元選擇模型在離散選擇模型中，最簡單的情形是在兩個可供選擇的方案中選擇其一，此時被解釋變量只取兩個值，稱為二元選擇模型（binarychoicemodel）。在實際生活中，我們經(jīng)常遇到二元選擇問題。例如，在買車與不買車的選擇中，買車記為1，不買記為0。是否買車與兩類因素有關系

3、：一類是車本身所具有的屬性，如價格、型號等；另一類是決策者所具有的屬性如收入水平、對車的偏好程度等。如果我們要研究是否買車與收入之間的關系，即研究具有某一收入水平的個體買車的可能性。因此，二元選擇模型的目的是研究具有給定特征的個體作某種而不作另一種選擇的概率。3為了深刻地理解二元選擇模型，首先從最簡單的線性概率模型開始討論。線性概率模型的回歸形式為：（7.1.1）其中：N是樣本容量；k是解釋變量個數(shù)；xj為第j個個體特征的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽車的價格；x3表示消費者的偏好等。設yi表示取值為0和1的離散型隨機變量：式（7.1.1

4、）中ui為相互獨立且均值為0的隨機擾動項。7.1.1線性概率模型及二元選擇模型的形式4令pi=P(yi=1)，那么1-pi=P(yi=0)，于是（7.1.2）又因為E(ui)=0，所以E(yi)=xi?，xi=(x1i,x2i,…,xki),?=(?1,?2,…,?k)?，從而有下面的等式：（7.1.3）5式(7.1.3)只有當xi?的取值在(0,1)之間時才成立，否則就會產(chǎn)生矛盾，而在實際應用時很可能超出這個范圍。因此，線性概率模型常常寫成下面的形式：(7.1.4)此時就可以把因變量看成是一個概率。那么擾動項的方差為：(7.1.5)或(7.1

5、.6)6由此可以看出，誤差項具有異方差性。異方差性使得參數(shù)估計不再是有效的，修正異方差的一個方法就是使用加權最小二乘估計。但是加權最小二乘法無法保證預測值?在(0,1)之內(nèi)，這是線性概率模型一個嚴重的弱點。由于上述問題，我們考慮對線性概率模型進行一些變換，由此得到下面要討論的模型。假設有一個未被觀察到的潛在變量yi*，它與xi之間具有線性關系，即(7.1.7)其中：ui*是擾動項。yi和yi*的關系如下：(7.1.8)7yi*大于臨界值0時，yi=1；小于等于0時，yi=0。這里把臨界值選為0，但事實上只要xi包含有常數(shù)項，臨界值的選擇就是無關

6、的，所以不妨設為0。這樣(7.1.9)其中：F是ui*的分布函數(shù)，要求它是一個連續(xù)函數(shù)，并且是單調(diào)遞增的。因此，原始的回歸模型可以看成如下的一個回歸模型：(7.1.10)即yi關于它的條件均值的一個回歸。8分布函數(shù)的類型決定了二元選擇模型的類型，根據(jù)分布函數(shù)F的不同，二元選擇模型可以有不同的類型，常用的二元選擇模型如表7.1所示：表7.1常用的二元選擇模型ui*對應的分布分布函數(shù)F相應的二元選擇模型標準正態(tài)分布Probit模型邏輯分布Logit模型極值分布Extreme模型9二元選擇模型一般采用極大似然估計。似然函數(shù)為(7.1.11)即(7.1

7、.12)對數(shù)似然函數(shù)為(7.1.13)7.1.2二元選擇模型的估計問題10對數(shù)似然函數(shù)的一階條件為(7.1.14)其中：fi表示概率密度函數(shù)。那么如果已知分布函數(shù)和密度函數(shù)的表達式及樣本值，求解該方程組，就可以得到參數(shù)的極大似然估計量。例如，將上述3種分布函數(shù)和密度函數(shù)代入式(7.1.14)就可以得到3種模型的參數(shù)極大似然估計。但是式(7.1.14)通常是非線性的，需用迭代法進行求解。二元選擇模型中估計的系數(shù)不能被解釋成對因變量的邊際影響，只能從符號上判斷。如果為正，表明解釋變量越大，因變量取1的概率越大；反之，如果系數(shù)為負，表明相應的概率將越

8、小。11例7.1二元選擇模型實例考慮Greene給出的斯佩克特和馬澤歐（1980）的例子，在例子中分析了某種教學方法對成績的有效性。因變量（GRADE