一階常微分方程習題(一)

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1、一階常微分方程習題（一）1．=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx兩邊積分有：ln

2、y

3、=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y=cex,x=0y=1時c=1特解為y=e.2.ydx+(x+1)dy=0并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：ydx=-(x+1)dydy=-dx兩邊積分:-=-ln

4、x+1

5、+ln

6、c

7、y=另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1時c=e特解：y=3．=解：原方程為：=dy=dx兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4.(1+x

8、)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程為：dy=-dx兩邊積分：ln

9、xy

10、+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程為：=-令=u則=u+x代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即ln(y+x)=c-2arctg.6.x-y+=0解：原方程為：=+-則令=u=u+xdu=sgnxdxarcsin=sgnxln

11、x

12、+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程為：=兩邊積分：ln

13、siny

14、=-ln

15、cosx

16、-ln

17、c

18、siny==另外y=0也是原方程的解，而c=

19、0時，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8+=0解：原方程為：=e2e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程為：=ln令=u,則=u+xu+x=ulnuln(lnu-1)=-ln

20、cx

21、1+ln=cy.10.=e解：原方程為：=eee=ce11=(x+y)解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.=解：令x+y=u,則=-1-1=u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.=解:原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

22、xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y-y)-dx+x=cxy-y+y-x-x=c14:=解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0y+4y+x+10x-2xy=c.15:=(x+1)+(4y+1)+8xy解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u則=--=u+3=4u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下

23、列方程：1）y(1+xy)dx=xdy2）=證明：令xy=u,則x+y=則=-，有：=f(u)+1du=dx所以原方程可化為變量分離方程。1）令xy=u則=-(1)原方程可化為：=[1+（xy）](2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標軸間的部分初切點分成相等的部分。解：設（x+y）為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y’(x-x)+y則與x軸，y軸交點分別為：x=x-y=y-xy’則x=2x=x-所以xy=c18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程，其中=。解：由題意得：y’=dy

24、=dxln

25、y

26、=ln

27、xc

28、y=cx.=則y=tgx所以c=1y=x.19.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的曲線是拋物線。證明：設(x,y)為所求曲線上的任意一點，則y’=kx則：y=kx+c即為所求。