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1、一階常微分方程模型 （First-OrderOrdinaryDifferentialEquationModel）數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）一階常微分方程模型內(nèi)容一階常微分方程建模實(shí)例與練習(xí)一階常微分方程模型的解法要求能熟練地建立一階常微分方程模型重點(diǎn)、難點(diǎn)一階常微分方程的建模方法一階常微分方程模型參考文獻(xiàn)唐煥文，賀明峰.數(shù)學(xué)模型引論（第三版）.北京：高等教育出版社，2005年3月姜啟源等.數(shù)學(xué)模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003年8月葉其孝主編.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，20
2、03年5月劉振航.數(shù)學(xué)建模.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004年5月一、一階常微分方程的建模實(shí)例例題1：人口模型問題描述人口的增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題。早在18世紀(jì)人們就開始進(jìn)行人口預(yù)報(bào)工作。幾百年來建立了許多有關(guān)人口問題的模型。較簡(jiǎn)單的模型有Malthus人口模型和Logistic人口模型。下面分別介紹這兩個(gè)模型。一、一階常微分方程的建模實(shí)例Malthus人口模型第一次出現(xiàn)：1789年，英國(guó)人口學(xué)家Malthus(1766-1834)根據(jù)100年來人口統(tǒng)計(jì)資料提出?；炯僭O(shè)：人口增長(zhǎng)率r是常數(shù)或單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的
3、人口數(shù)量成正比。常用假設(shè)：大規(guī)模種群的個(gè)體數(shù)量是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。一、一階常微分方程的建模實(shí)例Malthus人口模型模型構(gòu)成引入符號(hào)N(t)：t時(shí)刻人口數(shù)量；N(t+?t)：t+?t時(shí)刻人口數(shù)量；r:人口增長(zhǎng)率（為常數(shù)）；構(gòu)建平衡關(guān)系（等式） 考慮t到t+?t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量，由Malthus理論，有N(t+?t)-N(t)=rN(t)?t一、一階常微分方程的建模實(shí)例Malthus人口模型模型構(gòu)成構(gòu)成微分方程 在等式N(t+?t)-N(t)=rN(t)?t中， 令?t→0，得到微分方程其中N0為t=t0時(shí)的人口數(shù)。一、一階常微分方
4、程的建模實(shí)例Malthus人口模型模型檢驗(yàn)表1：美國(guó)的實(shí)際人口與指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算人口比較年份實(shí)際人口預(yù)測(cè)值誤差（%）1790390180053018107207301.4182096010004.21830129013706.21840171018709.418502320256010.318603140350010.818703860478023.8t以10年為單位。一、一階常微分方程的建模實(shí)例Malthus人口模型成功之處與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)缺陷之
5、處不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程產(chǎn)生這些缺陷的主要原因人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)改進(jìn)Logistic模型一、一階常微分方程的建模實(shí)例Logistic人口模型問題分析人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大r是N(t)的減函數(shù)一、一階常微分方程的建模實(shí)例Logistic人口模型1837年，荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù)Nmax（簡(jiǎn)記為Nm），用來表示自然資源和環(huán)境條件下所能容納許的最大人口數(shù)量。Verhulst將Malthus
6、模型中的假設(shè)條件“人口自然增長(zhǎng)率為常數(shù)”修正為人口自然增長(zhǎng)率為從而有如下模型（Logistic模型）一、一階常微分方程的建模實(shí)例Logistic人口模型模型求解一、一階常微分方程的建模實(shí)例Logistic人口模型模型曲線dN/dtt0NmNm/2NmtN(t)0N0Nm/2二、一階常微分方程的建模練習(xí)建模練習(xí)1：人的體重變化某人的攝入熱量是每天2500大卡（Calorie，卡路里，熱量單位），其中1200大卡用于基本的新陳代謝。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的大約是每天每千克體重為16大卡，設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1千克脂肪含
7、熱量10000大卡。求此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。提示：每天體重的變化=每天凈吸收量-每天健身訓(xùn)練的消耗許多實(shí)際問題的解決歸結(jié)為尋找變量間的函數(shù)關(guān)系。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。本節(jié)只舉幾個(gè)實(shí)例來說明。建模練習(xí)2：嫌疑犯問題受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8：20趕到現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體體溫為，一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一
8、直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話，打完電話后就離開了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問題：是張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫
