解一階常微分方程

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1、解一階常微分方程1.知識準(zhǔn)備1.1變量分離方程形如()的方程，稱為變量分離方程，，分別是，的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù)．如果，我們可將()改寫成，這樣變量就分離開來了.兩邊積分，得到，為任意常數(shù)．由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式就是常微分方程()的解．1.2積分因子恰當(dāng)微分方程可以通過積分求出它的通解．因此能否將一個非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程就有很大的意義．積分因子就是為了解決這個問題引進(jìn)的概念．如果存在連續(xù)可微函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)，使，則稱為方程的積分因子．函數(shù)為積分因子的充要條件是，即-12-．假設(shè)原方程存在只與有關(guān)的積分因子，則，

2、則為原方程的積分因子的充要條件是，即僅是關(guān)于的函數(shù)．此時可求得原方程的一個積分因子為．同樣有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是是僅為的函數(shù)，此時可求得方程()的一個積分因子為1.3恰當(dāng)微分方程考慮微分形式的一階微分方程()，如果該式的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即則稱()為恰當(dāng)微分方程．對于一階微分方程，若有，則該方程必為恰當(dāng)微分方程．我們接著討論如何求得該恰當(dāng)微分方程的解．我們可以把看作只關(guān)于自變量的函數(shù)，對它積分可得，由此式可得　　，又因為有，故-12-，對該式積分可得，將該式代入，得恰當(dāng)微分方程的通解為．2.基本方法2.1一般變量分離形如()的方程，稱

3、為變量分離方程，，分別是，的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù)．如果，我們可將()改寫成，這樣變量就分離開來了.兩邊積分，得到，為任意常數(shù)．由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式就是常微分方程()的解．2.2齊次微分方程2.2.1齊次微分方程類型一一階線性微分方程其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù),若,變?yōu)榉Q為一階齊次線性微分方程,若-12-稱為一階非齊次線性微分方程.變易分離方程,易求得它的通解為這里是任意常數(shù).2.2.2齊次微分方程類型二有些方程本不是可分離變量微分方程的類型，但經(jīng)過變量變換可化為分離變量的微分方程．可分為三種情況來討論:的情形這時，有因此,只要作變換,則

4、方程就轉(zhuǎn)化為變量分離方程.的情形.這時方程可寫為令,則方程化為這是變量分離方程.及不全為零的情形因為方程右端分子,分母都是的一次多項式,因此代表平面上兩條相交的直線,設(shè)交點為,若令-12-則化為從而變?yōu)橐虼?求解上述變量分離方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解.2.3常數(shù)變易法一階線性微分方程其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù),若,變?yōu)榉Q為一階齊次線性微分方程,若稱為一階非齊次線性微分方程.變易分離方程,易求得它的通解為這里是任意常數(shù).現(xiàn)在討論非齊次線性方程的通解的求法.不難看出,是的特殊情形,兩者既有聯(lián)系又有差別,因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而

5、又有差別,現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解,顯然,如果中恒保持為常數(shù),它們不可能是的解.可以設(shè)想在中將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿足方程,從而求出為此,令微分之,得到以代入得到-12-即積分后得到這里是任意常數(shù).將代入得到這就是方程的通解.3.基本方法的應(yīng)用3.1.一般變量分離應(yīng)用舉例3.1.1應(yīng)用舉例例1求解方程解將變量分離，得到兩邊積分，即得因而，通解為這里是任意正常數(shù)，或者解出，寫出顯函數(shù)形式的解3.1.2應(yīng)用舉例例2求解方程的通解，其中的連續(xù)函數(shù)-12-解將變量分離，得到兩邊積分，即得這里是任意常數(shù)。由對數(shù)定義，既有，即令，得到此外，顯然也

6、是方程的解，如果允許中允許則也就包括在中，因而的通解為，其中為任意常數(shù)。3.2齊次微分方程應(yīng)用3.2.1類型一應(yīng)用舉例例1求解方程解這是齊次微分方程，以代入，則原方程變?yōu)榧磳⑸鲜椒蛛x變量，既有兩邊積分，得到這里是任意常數(shù)，整理后，得到=-12-得到此外，方程還有解如果在中允許，則也就包括在中，這就是說，方程的通解為帶回原來的變量，得到方程的通解為3.2.2類型一應(yīng)用舉例例2求解方程（）解將方程改寫為這是齊次微分方程.以代入，則原方程變?yōu)榉蛛x變量，得到兩邊積分，得到的通解即當(dāng)時，這里c時任意常數(shù).此外，方程還有解注意，此解并不包括在通解中.-12-代回原來的變

7、量，即得原方程的通解為當(dāng)及.3.2.3類型二應(yīng)用舉例例3求解方程．解方程可化為，令，將代入上式，可得，易知是上式的一個解，從而為原方程的一個解．當(dāng)時，分離變量得，兩邊積分得，故可得原方程的通解為．3.2.4類型二應(yīng)用舉例例4求解方程.解令,則有,代入所求方程,整理可得,由變量分離得,故所求方程的解為.3.2.5類型二應(yīng)用舉例-12-例5求解方程解解方程組得令代入上式方程，則有再令則上式可化為因此記并帶回原變量，得此外容易驗證即也是方程的解，因此方程的通解為其中為任意的常數(shù).3.3利用積分因子求解例6求解方程-12-解這里方程不是恰當(dāng)?shù)?。因為只與有關(guān)，故方程有

8、只與的積分因子以乘方程兩邊，得到或者寫成因而通解為3