_連續(xù)與一致連續(xù)典型例題

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1、第三講連續(xù)與一致連續(xù)一內(nèi)容提要1.函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性若函數(shù)在處的鄰域內(nèi)有定義，在點(diǎn)連續(xù)使得，有．注1若，則稱(chēng)函數(shù)在右連續(xù)；若，則稱(chēng)函數(shù)在左連續(xù)．在點(diǎn)連續(xù)．注2設(shè)定義于區(qū)間，，則在連續(xù)的充要條件是，有稱(chēng)之為連續(xù)的海涅歸結(jié)原則．注3初等函數(shù)在有定義的地方處處連續(xù)．2．間斷點(diǎn)的分類(lèi)若函數(shù)在處的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，在點(diǎn)處無(wú)定義，或在點(diǎn)有定義而不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)．第一類(lèi)間斷點(diǎn)（1）可去間斷點(diǎn)：，在點(diǎn)處無(wú)定義，或有定義但．（2）跳躍間斷點(diǎn)：．第二類(lèi)間斷點(diǎn)，中至少有一個(gè)不存在．3．連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（1）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，

2、則，使得，有．（2）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，則，使得，有．（3）四則運(yùn)算：若函數(shù)，均在點(diǎn)連續(xù)，則，，（）在點(diǎn)連續(xù)．（4）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，且，則即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)．（會(huì)證明）4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)（1）有界性定理：若在上連續(xù)，則在上有界．（2）最值定理：若在上連續(xù)，則在上能取得最大值和最小值．（3）介值定理：若在上連續(xù)，則，可取介于與之間的一切值．（4）零點(diǎn)定理：若在上連續(xù)，且，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．注1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)在整個(gè)分析理論中具有重要性．注2介值定理和零點(diǎn)定理是討論方程的根的重要工具．

3、5一致連續(xù)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)使得，只要，就有，則稱(chēng)在上一致連續(xù)．注1在區(qū)間上一致連續(xù)使得，只要，就有．注2一致連續(xù)定義中的是對(duì)整個(gè)區(qū)間適用的，即只信賴(lài)于，而于的位置無(wú)關(guān)，不論在的什么位置，只要與接近到同一程度，其函數(shù)值與就能接近到要求的程度，這表明函數(shù)在的“連續(xù)程度”是一致的、均勻的．注3在區(qū)間上非一致連續(xù)總存在，使得，但．注4在區(qū)間上一致連續(xù)對(duì)任何數(shù)列，若，則有．稱(chēng)之為函數(shù)一致連續(xù)的Heine歸結(jié)原則．注5在上連續(xù)，則函數(shù)必定是一致連續(xù)的．注6若在上均一致連續(xù)，則函數(shù)在上一致連續(xù)，特別的，若為有限區(qū)間，則，

4、在上一致連續(xù)．注7有關(guān)一致連續(xù)的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）滿(mǎn)足Lipschitz條件的函數(shù)在上一定一致連續(xù)．（2），且單調(diào)有界，則在區(qū)間上一致連續(xù)．（3），且存在，則在區(qū)間上一致連續(xù)．（4）若在區(qū)間上有界，則在區(qū)間上一致連續(xù)．（5），在上一致連續(xù)與存在．二、典型例題例用定義討論下面函數(shù)在所給區(qū)間的連續(xù)、一致連續(xù)性：（1），；（2），（?。?（ⅱ）；（3），（?。áⅲ?；（4），（?。áⅲ?；（5），；（6），．例設(shè)函數(shù)只有可去間斷點(diǎn)，定義，證明：為連續(xù)函數(shù)．例設(shè)在連續(xù)，且對(duì)，有．證明：（1）在上連續(xù)；（2）；（3）在上一

5、致連續(xù)．例證明在整數(shù)點(diǎn)處處連續(xù)，在其他點(diǎn)處間斷．證明：且為整數(shù)時(shí)，有（）．例討論的間斷點(diǎn)類(lèi)型．例設(shè)在上連續(xù)，存在且為，證明：（1）在內(nèi)有界；（2）在上能取到最大（小）值；（3）在上一致連續(xù)．例設(shè)在上一致連續(xù)，則存在正數(shù)，使，有．例設(shè)Lipschitz條件，即，試證明：（1）（2）例設(shè)在內(nèi)一致連續(xù)，，有，（）．證明：．例設(shè)，且有唯一最值點(diǎn)，若有數(shù)列，且．證明：．例證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)且有界，則對(duì)任意正數(shù)，存在數(shù)列，且（），有．