06秋幾代期末答案

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1、代數(shù)與幾何（1）試題答案和評分標準考試時間：2007年1月11日，信息學院和航空航天學院2006級學生一．選擇題（A）卷：（1）A（2）D(3)B(4)D(B)卷：（1）D(2)B(3)D(4)A二．填空題（A）卷：（1）0（2）30(3)-7/2(4)(B)卷：（1）30(2)0(3)(4)-7/2A卷B卷第三題．（總分8分）法一：，其中，，（分塊2分），（4分）（6分）12故（8分）法二：直接計算。（算對得８分；方法對但算錯，算錯一個元扣一分）A卷第四大題，B卷第五大題（15分）第1問參考解答：下面給出盡可能多的解法．法I　求投影直線的標準方程．先求直線與平面的交點坐標

2、．的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，代入的方程得，解得，故交點坐標為．再求投影直線的方向向量，這又至少有以下兩種方法：法I.a　的法向量為，單位化得，又的方向向量為，則在上的投影直線的方向向量為即方向向量為．也可直接利用公式計算，結果相同．12法I.b　由幾何關系不難看出．最后由投影直線的方向向量及其過點得到其標準方程為，或寫為．法II　求投影直線的一般方程．所求的投影直線在上，只需再求過該投影的另一個平面，可以是由及其投影確定的平面，即過且垂直于的平面．下面用兩種方法求該平面的方程．法II.a　過且垂直于的平面的法向量為，又上的點在該平面上，故該平面的方程為，即．法II.b　由的

3、標準方程易得其一般方程為，則過的平面族（平面系）方程為（注意：不包括平面本身），其法向量為，于是過且垂直于的平面對應的滿足，即，所以過且垂直于的平面方程為．故所求的投影直線為．法III　求上兩點到的投影，這兩個投影點確定的直線即為所求．比如，先按法I求出與的交點，再用類似的辦法求12上另一點到的投影．垂直于的直線的方向向量就是的法向量，則過點且垂直于的直線為，代入的方程得，解得，故點在上的投影點為．進而在上的投影直線為，即．評分標準：(1)對法I，算對與的交點坐標（或投影直線上的任意一點均可）及投影直線的方向向量各占3分，共6分；但若二者都算對卻仍把投影直線方程寫錯，扣2分

4、．(2)對法II，若算對過且垂直于的平面方程卻寫錯投影直線方程，扣2分；若算錯過且垂直于的平面方程，酌情扣分，例如在法II.a中，若只算對該平面的法向量，最多得3分．(3)對法III，參照法I，算對每個投影點坐標（可以是與的交點）各占3分；但若兩個投影點都算對卻寫錯投影直線方程，扣2分．閱卷小結：采用法I或法II的考生大約各占一半，只有極個別的采用法III．采用法I的答卷中，求方向向量時，用法I.a或法I.b的都有不少，前者居多；采用法II的答卷中，全部用法II.a來求另一個平面．第2問12參考解答：下面給出兩種常見解法．法I　考慮與的方程構成的方程組(*)其增廣矩陣，對其

5、進行初等行變換，得．分四種情況討論：①若，則的一般方程中兩平面相同，不是一條直線，不屬于討論之列（此時可認為退化為一平面）；②若，則，故(*)有無窮多解，此時在上（）；③若，則，故(*)無解，此時與平行（）；④若，則，故(*)有唯一解，此時與相交于一點．法II　考慮的法向量與的方向向量的關系．易知．12(1)若與垂直，即與平行，則與平行或在內．此時，得或．其中①若，則，該方程不表示直線，不在討論范圍內；②若，則，其中第二個平面就是，；③若，則，其中第一個平面與平行（不重合），．(2)（對應于法I中的④）若與不垂直，即與不平行，則與相交．此時，得且．綜上，結論與法I一致：為使

6、的方程確為直線，和不能同時為；若，在上；若，與平行；若，與相交于一點．評分標準：(1)不論哪種方法，正確討論出②③④這三種情況各占3分，共9分；若對其中某種情況的分析未能得出正確結論，要扣掉相應的3分．情況①不占分．(2)對情況①12不作要求，考生可以不予考慮，不扣分；若對該情況加以討論且結論正確，不能額外加分；但若對其進行討論而分析有誤，扣1分．例如，凡出現(xiàn)下述表述之一的，扣1分：“時，在上”，“時，與平行”，“時，在上”，“時，與平行”，等等．(3)情況②中，若將誤作，或表述為“與重合”，均不扣分．類似的其他較次要的細節(jié)性筆誤也不扣分（前提是基本概念正確，思路清楚，閱卷

7、時視具體情況而定）．(4)部分考生對情況②③未加區(qū)分，此時要詳細審閱其解答過程．若寫在卷面上的內容都對，從中可看出考生只是將作為的一種特殊情況，或認為包括在內和在外兩種情況，這是可以的，不扣分；但若解答有明顯錯誤，反映出考生概念不清導致未能意識到可能有這兩種不同情況，通常至少扣3分．例如，籠統(tǒng)地說“和中有且只有一個為時，，與平行”尚勉強可以接受，最多扣1~2分；若寫出“和中有且只有一個為時，”或“和中有且只有一個為時，”等錯誤命題，視情節(jié)扣4~6分．(5)部分考生還附帶討論了與垂直的情形，作為情況④的特例，或者將情