06秋幾代期末答案

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1、代數(shù)與幾何（1）試題答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考試時(shí)間：2007年1月11日，信息學(xué)院和航空航天學(xué)院2006級(jí)學(xué)生一．選擇題（A）卷：（1）A（2）D(3)B(4)D(B)卷：（1）D(2)B(3)D(4)A二．填空題（A）卷：（1）0（2）30(3)-7/2(4)(B)卷：（1）30(2)0(3)(4)-7/2A卷B卷第三題．（總分8分）法一：，其中，，（分塊2分），（4分）（6分）12故（8分）法二：直接計(jì)算。（算對(duì)得８分；方法對(duì)但算錯(cuò)，算錯(cuò)一個(gè)元扣一分）A卷第四大題，B卷第五大題（15分）第1問(wèn)參考解答：下面給出盡可

2、能多的解法．法I　求投影直線的標(biāo)準(zhǔn)方程．先求直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)．的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，代入的方程得，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為．再求投影直線的方向向量，這又至少有以下兩種方法：法I.a　的法向量為，單位化得，又的方向向量為，則在上的投影直線的方向向量為即方向向量為．也可直接利用公式計(jì)算，結(jié)果相同．12法I.b　由幾何關(guān)系不難看出．最后由投影直線的方向向量及其過(guò)點(diǎn)得到其標(biāo)準(zhǔn)方程為，或?qū)憺椋↖I　求投影直線的一般方程．所求的投影直線在上，只需再求過(guò)該投影的另一個(gè)平面，可以是由及其投影確定的平面，即過(guò)且垂直于的平面．

3、下面用兩種方法求該平面的方程．法II.a　過(guò)且垂直于的平面的法向量為，又上的點(diǎn)在該平面上，故該平面的方程為，即．法II.b　由的標(biāo)準(zhǔn)方程易得其一般方程為，則過(guò)的平面族（平面系）方程為（注意：不包括平面本身），其法向量為，于是過(guò)且垂直于的平面對(duì)應(yīng)的滿足，即，所以過(guò)且垂直于的平面方程為．故所求的投影直線為．法III　求上兩點(diǎn)到的投影，這兩個(gè)投影點(diǎn)確定的直線即為所求．比如，先按法I求出與的交點(diǎn)，再用類似的辦法求12上另一點(diǎn)到的投影．垂直于的直線的方向向量就是的法向量，則過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為，代入的方程得，解得，故點(diǎn)在

4、上的投影點(diǎn)為．進(jìn)而在上的投影直線為，即．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(1)對(duì)法I，算對(duì)與的交點(diǎn)坐標(biāo)（或投影直線上的任意一點(diǎn)均可）及投影直線的方向向量各占3分，共6分；但若二者都算對(duì)卻仍把投影直線方程寫(xiě)錯(cuò)，扣2分．(2)對(duì)法II，若算對(duì)過(guò)且垂直于的平面方程卻寫(xiě)錯(cuò)投影直線方程，扣2分；若算錯(cuò)過(guò)且垂直于的平面方程，酌情扣分，例如在法II.a中，若只算對(duì)該平面的法向量，最多得3分．(3)對(duì)法III，參照法I，算對(duì)每個(gè)投影點(diǎn)坐標(biāo)（可以是與的交點(diǎn)）各占3分；但若兩個(gè)投影點(diǎn)都算對(duì)卻寫(xiě)錯(cuò)投影直線方程，扣2分．閱卷小結(jié)：采用法I或法II的考生大約

5、各占一半，只有極個(gè)別的采用法III．采用法I的答卷中，求方向向量時(shí)，用法I.a或法I.b的都有不少，前者居多；采用法II的答卷中，全部用法II.a來(lái)求另一個(gè)平面．第2問(wèn)12參考解答：下面給出兩種常見(jiàn)解法．法I　考慮與的方程構(gòu)成的方程組(*)其增廣矩陣，對(duì)其進(jìn)行初等行變換，得．分四種情況討論：①若，則的一般方程中兩平面相同，不是一條直線，不屬于討論之列（此時(shí)可認(rèn)為退化為一平面）；②若，則，故(*)有無(wú)窮多解，此時(shí)在上（）；③若，則，故(*)無(wú)解，此時(shí)與平行（）；④若，則，故(*)有唯一解，此時(shí)與相交于一點(diǎn)．法II

6、　考慮的法向量與的方向向量的關(guān)系．易知．12(1)若與垂直，即與平行，則與平行或在內(nèi)．此時(shí)，得或．其中①若，則，該方程不表示直線，不在討論范圍內(nèi)；②若，則，其中第二個(gè)平面就是，；③若，則，其中第一個(gè)平面與平行（不重合），．(2)（對(duì)應(yīng)于法I中的④）若與不垂直，即與不平行，則與相交．此時(shí)，得且．綜上，結(jié)論與法I一致：為使的方程確為直線，和不能同時(shí)為；若，在上；若，與平行；若，與相交于一點(diǎn)．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(1)不論哪種方法，正確討論出②③④這三種情況各占3分，共9分；若對(duì)其中某種情況的分析未能得出正確結(jié)論，要扣掉相應(yīng)的

7、3分．情況①不占分．(2)對(duì)情況①12不作要求，考生可以不予考慮，不扣分；若對(duì)該情況加以討論且結(jié)論正確，不能額外加分；但若對(duì)其進(jìn)行討論而分析有誤，扣1分．例如，凡出現(xiàn)下述表述之一的，扣1分：“時(shí)，在上”，“時(shí)，與平行”，“時(shí)，在上”，“時(shí)，與平行”，等等．(3)情況②中，若將誤作，或表述為“與重合”，均不扣分．類似的其他較次要的細(xì)節(jié)性筆誤也不扣分（前提是基本概念正確，思路清楚，閱卷時(shí)視具體情況而定）．(4)部分考生對(duì)情況②③未加區(qū)分，此時(shí)要詳細(xì)審閱其解答過(guò)程．若寫(xiě)在卷面上的內(nèi)容都對(duì)，從中可看出考生只是將作為的一

8、種特殊情況，或認(rèn)為包括在內(nèi)和在外兩種情況，這是可以的，不扣分；但若解答有明顯錯(cuò)誤，反映出考生概念不清導(dǎo)致未能意識(shí)到可能有這兩種不同情況，通常至少扣3分．例如，籠統(tǒng)地說(shuō)“和中有且只有一個(gè)為時(shí)，，與平行”尚勉強(qiáng)可以接受，最多扣1~2分；若寫(xiě)出“和中有且只有一個(gè)為時(shí)，”或“和中有且只有一個(gè)為時(shí)，”等錯(cuò)誤命題，視情節(jié)扣4~6分．(5)部分考生還附帶討論了與垂直的情形，作為情況④的特例，或者將情