高等代數(shù)專(zhuān)題研究模擬試題

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1、高等代數(shù)專(zhuān)題研究模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分）1.下列法則中，哪個(gè)不是上的二元代數(shù)運(yùn)算？（）（A）（B）（C）（D）2.設(shè)是線性空間的線性變換，是的分別屬于特征值與的特征向量，則（）.（A）若與線性相關(guān)，則；（B）若與線性無(wú)關(guān)，則；（C）若與線性相關(guān)，則；（D）若與線性無(wú)關(guān)，則.3.全體正實(shí)數(shù)對(duì)于下面定義的加法和標(biāo)量乘法：，構(gòu)成上的線性空間，則它的維數(shù)是（）.（A）0（B）1（C）2（D）34.如果線性空間上的線性變換在的一組基下的作用為：那么在基下的矩陣為（）.（A）（B）（C）（D）5.設(shè)為歐幾里得空間，是中的

2、任意向量，則下列式子不成立的是（）.（A）（B）（C）（D）一、填空題（本題共20分，每小題4分）1.正交矩陣的行列式等于.2.設(shè)為兩個(gè)不相等的常數(shù)，則多項(xiàng)式被除所得余式為.3.同一雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是的.4.若矩陣與相似，則的行列式.5.設(shè)，，則.二、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分）1.求多項(xiàng)式的所有有理根.2.已知；.求（1）的一組基與維數(shù)；（2）的一組基與維數(shù)；（3）與的一組基與維數(shù).1.設(shè)，求一個(gè)正交矩陣，使得是一個(gè)對(duì)角矩陣.一、證明題（本題15分）設(shè)是階正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，為階實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣（），證明：是正定實(shí)對(duì)稱(chēng)

3、矩陣.高等代數(shù)專(zhuān)題研究模擬試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分）1.D2.C3.B4.A5.D二、填空題（本題共20分，每小題4分）1.2.3.相合4.5.三、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分）1.解：，.根據(jù)定理2.9.4，的有理根只可能是：，，，，，.依此代入檢驗(yàn)可得，，.因此的有理根是，.2.解：（1）線性無(wú)關(guān)，因此，即為的一組基.（2）線性無(wú)關(guān)，因此，即為的一組基.（3），一組基為，，一組基為.3.解：因此的特征值為，，.當(dāng)時(shí)，解方程組，得一組基礎(chǔ)解系為，單位正交化可得，當(dāng)時(shí)，解方程組，得一組基礎(chǔ)解系為單位正交化

4、可得以為列，可得正交矩陣，且為對(duì)角陣.一、證明題（本題15分）證明：因?yàn)槭钦▽?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以.為階實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣，，從而因此是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.對(duì)于任意維列向量，有故是正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.