【小學(xué)奧數(shù)-格點(diǎn)型面積】

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1、格點(diǎn)型面積例題精講板塊一正方形格點(diǎn)問(wèn)題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個(gè)單位)，這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng)，其中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn)．在方格網(wǎng)中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形．那么，格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒(méi)有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算公式來(lái)表達(dá)？下面就讓我們一起來(lái)探討這些問(wèn)題吧！用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L表示多邊形周界上的格點(diǎn)，S表示多邊形面積，請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)．

2、我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個(gè)規(guī)律就是畢克定理．畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有L個(gè)格點(diǎn)，則它的面積為．page69of69【例1】用9個(gè)釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣(如右圖)．如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)釘子連結(jié)起來(lái)就得到一個(gè)三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少？面積等于2平方厘米的三角形有多少個(gè)？【解析】面積等于1平方厘米的三角形有32個(gè)．面積等于2平方厘米的三角形有8個(gè)．(1)面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下：①②③底為2，高為1底為2，高為1底為1，高為23×2=6(個(gè))3×2

3、=6(個(gè))3×2=6(個(gè))④⑤⑥底為1，高為2底為2，高為1底為1，高為23×2=6(個(gè))2×2=4(個(gè))2×2=4(個(gè))所以，面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32(個(gè))．(2)面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下：3×2=6(個(gè))1×2=2(個(gè))所以，面積等于2平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+2=8(個(gè))．【例2】如圖，的方格紙上放了16枚棋子，以棋子為頂點(diǎn)的正方形有個(gè)．【解析】根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形．共能組成五種大小不同的正方形(如右圖)．的正方形：9個(gè)；的正方形：4個(gè)；的正方形：1個(gè)；以正方形對(duì)角

4、線為邊長(zhǎng)的正方形：4個(gè)；以長(zhǎng)方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：2個(gè)．故可以組成(個(gè))正方形．【例3】判斷下列圖形哪些是格點(diǎn)多邊形？【解析】根據(jù)格點(diǎn)多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上！所以只有⑴page69of69是格點(diǎn)多邊形．【例1】如圖，計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積．【解析】本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運(yùn)用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了．方法一：圖⑴是正方形，邊長(zhǎng)是4，所以面積是(面積單位)；圖⑵是矩形，長(zhǎng)是5，寬是3，所以面積是(面積單位)；圖⑶是三角形，底是5，高是4，所以面積是(面積單位)；圖

5、⑷是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面積是(面積單位)．【鞏固】如果兩格點(diǎn)之間的距離是2，能利用剛計(jì)算的結(jié)果說(shuō)出相應(yīng)面積么？(教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴(kuò)大4倍．)方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導(dǎo)它們的面積公式過(guò)程中得到啟發(fā)，即用“割補(bǔ)法”或“擴(kuò)展法”分別轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)求．這一種方法很重要，在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖⑶，我們利用“擴(kuò)展法”將其轉(zhuǎn)化，如圖所示，

6、從圖中易知三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半．如圖⑷，我們利用“割補(bǔ)法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，從中易得平行四邊形面積．同理，圖⑸、⑹也可利用同樣的思想．【例2】如圖(a)，計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積．【解析】方法一(擴(kuò)展法)．這是個(gè)三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個(gè)三角形是處在長(zhǎng)是6、寬是4的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個(gè)直角三角形，如下右圖(b)，這三個(gè)直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個(gè)直角三角形面積，就是所要求的三角形面積．矩形面積是；直角三角形Ⅰ的面

7、積是：；直角三角形Ⅱ的面積是：；直角三角形Ⅲ面積是；所求三角形的面積是(面積單位)．方法二(割補(bǔ)法)．將原三角形分割成兩個(gè)我們方便計(jì)算面積的三角形，如(c)圖．因此三角形的面積是：(面積單位)．【例3】(“新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競(jìng)賽試題)右圖是一個(gè)方格網(wǎng)，計(jì)算陰影部分的面積．【解析】擴(kuò)展法．把所求三角形擴(kuò)展成正方形ABCD中．這個(gè)正方形中有四個(gè)三角形：一個(gè)是要求的page69of69；另外三個(gè)分別是：ABE、FEC、DAF，它們都有一條邊是水平放置的，易求它們的面積分別為，，．所以，圖中陰影部分的面積為：()．【例1】分別計(jì)算圖中

8、兩個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積．⑴⑵【解析】利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都可以簡(jiǎn)單的得到⑴的面積均為9面積單位．⑵的面積均為10面積單位．【點(diǎn)評(píng)】“一個(gè)格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和周界上的格點(diǎn)數(shù)與