奧數(shù)格點(diǎn)面積

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1、.學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第六講格點(diǎn)與面積生活中我們常借助一些工具來(lái)迅速簡(jiǎn)便的解決一些問(wèn)題，如為了能捕到魚(yú)，人們制作了魚(yú)鉤和網(wǎng)。同樣在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，為了更好的解決問(wèn)題聰明的人類也創(chuàng)造了一些“工具”。這一講我們主要介紹利用格點(diǎn)求幾何圖形的面積。先來(lái)介紹什么是“格點(diǎn)”。見(jiàn)下圖：這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，水平線和垂直線圍成的每個(gè)小正方形稱為“面積單位”。圖中帶陰影的小方格就是一個(gè)面積單位。借助格點(diǎn)圖，我們可以很快的比較或計(jì)算圖形的面積大小。利用格點(diǎn)求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個(gè)面積單位，然后通過(guò)計(jì)算有多少

2、個(gè)面積單位來(lái)求圖形面積；二是將某些圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積來(lái)求。當(dāng)然還可以將這兩種方法結(jié)合起來(lái)，求出某些較復(fù)雜圖形的面積。例1計(jì)算下圖中各圖形的面積：分析：先仔細(xì)觀察圖中的每個(gè)圖形，選擇方法。顯然第一、三、六圖可以直接數(shù)出包含多少個(gè)面積單位即可。而二、四、五圖顯然不適合用數(shù)單位面積的方法來(lái)求面積，可以采用虛線把這些圖形擴(kuò)展或割補(bǔ)成長(zhǎng)方形，通過(guò)求長(zhǎng)方形面積來(lái)求這些圖形面積。解答：（1）圖中長(zhǎng)方形包括3×2=6（個(gè)）面積單位，所以它的面積為6。（2）將圖中平行四邊形割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為3×2=6，而平行四邊形的面積等于長(zhǎng)方形面積，所以平行四邊形的面積為3×2=6

3、。（3）將圖中三角形用虛線分成3塊，它包含有1個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，合起來(lái)有2個(gè)面積單位，所以它的面積為2。（4）圖中將三角形擴(kuò)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為3×2=6，而三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，則三角形面積為3。......（5）將圖中梯形的互相平行的一組對(duì)邊延長(zhǎng)，補(bǔ)出一個(gè)和原來(lái)梯形方向顛倒，但面積一樣的梯形，形成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積為（2＋4）×3=18，而梯形的面積為長(zhǎng)方形的面積的一半。所以梯形的面積為：（2＋4）×3÷2=9。（6）將圖中梯形用虛線分成3塊，它包含有5個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，合起來(lái)有6個(gè)面積單位，所以它的面積為6

4、。例2計(jì)算下面這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積。分析：這是一個(gè)不規(guī)則的多邊形，不能直接求出它的面積?？捎瞄L(zhǎng)方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積，如圖1所示；另外還可將該四邊形分割成幾塊，如圖2。解答：方法一：3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面積單位）方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面積單位）例3相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1平方厘米。分別連接各點(diǎn)，組成下面12個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列的規(guī)律？算出各圖形的面積。找出圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)與面積三者之間的關(guān)系。分析：仔細(xì)觀察圖形：......橫看，從

5、左往右圖形一周的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多，中間的格點(diǎn)數(shù)不變；豎看，從上往下圖形一周的格點(diǎn)數(shù)不變，中間的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多。圖形一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)與面積究竟有什么關(guān)系呢？我們可以將圖形按中間沒(méi)有個(gè)點(diǎn)、中間有一個(gè)格點(diǎn)和中間有兩個(gè)格點(diǎn)進(jìn)行分組列表分析。第（1）組圖形編號(hào)①②③④一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)0000面積（平方厘米）1236中間沒(méi)有格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)÷2－1第（2）組圖形編號(hào)⑤⑥⑦⑧一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)1111面積（平方厘米）2347中間有一個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)÷2＋（1－1）1211第（3）組圖形編號(hào)⑨⑩一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)2222

6、面積（平方厘米）3458中間有兩個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)÷2＋（2－1）解答：（1）中間格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形的面積隨著一周的格點(diǎn)數(shù)增加而增加；當(dāng)一周的格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形的面積同樣隨著中間的格點(diǎn)數(shù)增加而增加。（2）各圖形的面積見(jiàn)表格。各圖形面積的大小與一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)都有關(guān)系，格點(diǎn)圖形的面積計(jì)算公式是：圖形面積=圖形一周的格點(diǎn)數(shù)÷2＋（中間格點(diǎn)數(shù)－1）說(shuō)明：格點(diǎn)圖形的面積求法很靈活，不要死記公式，要具體題目具體研究。例4下圖是一個(gè)漂亮禮盒的平面圖，請(qǐng)你求出它的面積：分析：這是一個(gè)組合圖形，面積可分成幾個(gè)部分來(lái)求。本圖可分為兩個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形三部分。每一部分

7、面積的求法，因圖而異。如兩個(gè)三角形需要擴(kuò)展成長(zhǎng)方形再求面積，而長(zhǎng)方形只要直接數(shù)單位面積即可。解答：左邊三角形面積=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；右邊三角形面積=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；......長(zhǎng)方形的面積為6×2=12；所以禮盒面積為：5＋4＋12=21說(shuō)明：此題還可以直接用公式，請(qǐng)你自己試一試。例5在下圖中有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)單位面積的等邊三角形，計(jì)算三角形ABC的面積。分析：此題是一個(gè)三角形格點(diǎn)圖。每三個(gè)相鄰的格點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，為一個(gè)面積單位。三角形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算類似于正方形格點(diǎn)圖形