復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法與含參數(shù)問題

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1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法與含參數(shù)問題若，又，且值域與定義域的交集不空，則函數(shù)叫的復(fù)合函數(shù)，其中叫外層函數(shù)，叫內(nèi)層函數(shù)，簡而言之，所謂復(fù)合函數(shù)就是由一些初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。例１、（1）設(shè)f(x)=2x-3g(x)=x2+2求f[g(x)]（或g[f(x)]）。（2）已知：f(x)=x2-x+3求：f()f(x+1)（二）求復(fù)合函數(shù)相關(guān)定義域一、已知的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域由復(fù)合函數(shù)的定義我們可知，要構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此可得其方法為：若的定義域?yàn)?，求出中的解的范圍，即為的定義域。例1已知的定義域?yàn)椋?/p>

2、求定義域。解因?yàn)閺?fù)合函數(shù)中內(nèi)層函數(shù)值域必須包含于外層函數(shù)定義域中，即即或故的定義域?yàn)椤驹u注】所謂定義域是指函數(shù)中自變量的取值范圍，因此我們可以直接將復(fù)合函數(shù)中看成一個整體，即由可得，解出的范圍即可。練習(xí)：設(shè)，則的定義域?yàn)椋˙）A.B.C.D.二、已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域方法是：若的定義域?yàn)?，則由確定的范圍即為的定義域。例2若函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域解，，故函數(shù)的定義域?yàn)椤驹u注】由的定義域?yàn)榈?，有的同學(xué)會誤將此的范圍當(dāng)作的定義域，為了更易分清此非彼，我們可將令成一個整體，即，先解出的定義域，即為的定義域。三、已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求

3、的定義域結(jié)合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。4例3已知的定義域?yàn)?，求的定義域。解由的定義域?yàn)榈?，故即得定義域?yàn)?，從而得到，所以故得函?shù)的定義域?yàn)樗?、已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。例4已知函數(shù)定義域?yàn)槭?，且求函?shù)的定義域解，，又要使函數(shù)的定義域?yàn)榉强占?，必須且只需，即，這時函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄈ?fù)合函數(shù)的單調(diào)性有以下結(jié)論：u=g(x)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減

4、函數(shù)y=f(u)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=f[g(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：(1)求復(fù)合函數(shù)定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解為若干個常見函數(shù)(一次、二次、冪、指、對函數(shù))；(3)判斷每個常見函數(shù)的單調(diào)性；(4)將中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍；(5)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?！∫弧⑼夂瘮?shù)與內(nèi)函數(shù)只有一種單調(diào)性的復(fù)合型：例1已知函數(shù)y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()(A).(0,1)(B).(1,2)(C).(0,2)(D).2，+∞)解：設(shè)y=logau，u=2-ax

5、，∵a是底數(shù)，所以a>0，∵函數(shù)y=logau在u∈[0,1]上是減函數(shù)，而u=2-ax在區(qū)間x∈[0,1]上是減函數(shù)，∴y=logau是u∈(0,+∞)上的增函數(shù)，故a>1，還要使2-ax>0在區(qū)間上總成立，令g(x)=2-ax，由{，解得a<2，∴10知函數(shù)的定義域?yàn)閤≠0，因y=log0.5u在u∈(0,+∞)上是減函數(shù)，而u=x2+4

6、x+4在x∈(-∞，-2)上是減函數(shù)，在(-2，+∞)上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合規(guī)律知，4函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4)在x∈(-∞，-2)上是增函數(shù).例3.討論函數(shù)y=0.8x-4x+3的單調(diào)性。解：函數(shù)定義域?yàn)镽。令u=x2-4x+3，y=0.8u。指數(shù)函數(shù)y=0.8u在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞)上是增函數(shù)，∴函數(shù)y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函數(shù)，在[2，+∞)上是減函數(shù)。這里沒有第四步，因?yàn)橹虚g變量允許的取值范圍是R，無需轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍。三、外函數(shù)有兩種單

7、調(diào)性，而內(nèi)涵數(shù)只有一種單調(diào)性的復(fù)合型：例4在下列各區(qū)間中，函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)遞增區(qū)間是()(A).[，π](B).[0，](C).[-π，0](D).[，]解：令y=sinu，u=x+，∵y=sinu在u∈[2kπ-，2kπ+](k∈Z)上單調(diào)遞增，在u∈[2kπ+，2kπ+](k∈Z)上單調(diào)遞增，而u=x+在R上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律，由2kπ-≤x+≤2kπ+得2kπ-≤x≤2kπ+，當(dāng)k=0時，-≤x≤，而[0，]∈[-，]例5.討論函數(shù)y=(log2x)2+log2x的單調(diào)性。解：顯然函數(shù)定義域?yàn)?0，+∞)。令u

8、=log2x，y=u2+u∵u=log2x在(0，+∞)上是增函數(shù)，y=u2+u在(-∞，]上是減函數(shù)，在[，+∞)上是增函數(shù)(注意(-∞，]及[，+