統(tǒng)計與概率難點分析及教學建議

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1、概率難點分析及教學建議河北師范大學數(shù)學與信息科學學院程?？y(tǒng)計與概率研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性。對新課標教材中的統(tǒng)計與概率內(nèi)容，就知識層面和方法看，似乎不難。但蘊涵的概率觀點和統(tǒng)計思想?yún)s不容易了解。那么，概率的意義究竟是什么？概率難在何處？統(tǒng)計推斷有什么特點？如何評價統(tǒng)計推斷的結(jié)果？統(tǒng)計與概率的關系是什么？下面就這些問題作一簡單分析。一、概率的難點分析1．概率的抽象性。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的度量。像長度和面積這些度量都比較直觀，對溫度的高低在一定范圍我們可以感知。而事件發(fā)生的可能性大小的度量，直觀看不見，也無法感知，太

2、抽象了。2.統(tǒng)計規(guī)律的隱含性。隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)為大量實驗時，事件頻率的穩(wěn)定性。這種規(guī)律稱之為統(tǒng)計規(guī)律性。頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎，它說明隨機事件發(fā)生的可能性大小是事件本身固有的、不隨人們的意志而改變的客觀屬性，它是可以度量的。同時它也給出了度量的一種方法?，F(xiàn)實中，只有個別特殊情形，在合理的假設下不需通過重復實驗而直接計算概率，而大量事件的概率需要用頻率去估計。由于統(tǒng)計規(guī)律是通過大量重復實驗揭示的，因此，只有深刻理解概率與頻率的關系、概率與頻率的本質(zhì)區(qū)別，才能正確理解概率

3、的意義，利用概率思想進行風險決策。對概率與頻率的關系的認識可以分三個層次進行教學。直觀認識。概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是由事件本身唯一確定的一個常數(shù)；頻率反映在n次實驗中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地，如果一個事件的概率較大，頻率也較大，概率較小，頻率也較小。反之也對。具體實驗。通過大量重復實驗，借助圖形表示頻率的穩(wěn)定性規(guī)律：隨著實驗次數(shù)的增多，頻率的波動越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個常數(shù)附近。但應該認識到頻率的不確定性，即當實驗次數(shù)較少時，頻率的波動可能比較大。精確刻畫。有些資料這樣敘述：“實驗次數(shù)越多，用頻率估計概率

4、越準確”，這樣的敘述嚴密嗎？以擲硬幣為例，已知“正面向上”的概率為0.5，擲兩次硬幣，可能頻率為是0.5，用頻率估計概率的誤差為0；而擲100次硬幣，也可能頻率為0.2，誤差為0.3。顯然上面的敘述不嚴密，太絕對了。究竟如何精確地刻畫頻率的穩(wěn)定性呢？提供如下案例供參考（不需要學生了解計算方法）。案例1分別擲100次、200次、1000次硬幣，用“正面向上”的頻率估計概率，在給定誤差范圍內(nèi)，計算估計的可靠性。用fn表示擲n次硬幣“正面向上”的頻率，fn的取值具有不確定性，用EXCEL計算結(jié)果如下表：比較嚴格的敘述為：“當

5、實驗次數(shù)較少時，用頻率估計概率誤差較小的可能性較小，實驗次數(shù)越多，用頻率估計概率誤差較小的可能性越大”。3.概率定義的復雜性。概率事件發(fā)生的可能性大小的度量。這是概率的描述性定義，它雖然揭示了概率的本質(zhì)，但對概率具有那些性質(zhì)，如何計算或估計事件的概率都沒有幫助。概率是頻率的穩(wěn)定值。這是概率的統(tǒng)計定義。它給出了估計事件概率的一種方法，而且明確了概率作為一種度量，應該具有非負性、規(guī)范性和可加性。但頻率還有隨機性的特征，特別當實驗次數(shù)不大時，很難知道這個穩(wěn)定值是什么。為了能較好地理解概率的意義，我們應該采用由具體到抽象，由簡

6、單到復雜，由特殊到一般的方式。先認識頻率及其性質(zhì)，頻率和概率的關系；然后討論古典概率，幾何概率這些具體簡單的模型；從中歸納概率的本質(zhì)特征，最后給出概率的公理化定義（高中階段不作要求）。案例2美國的一個電視游戲節(jié)目有三扇門，其中一扇門后面是一輛轎車，另兩扇門后面各有一只羊。給你一次猜的機會。猜中羊可以牽走羊，猜中車可以開走車。當然大家都希望能開走汽車?，F(xiàn)在假如你猜1號門后面是車，然后主持人把無車的一扇門（比如2號門）打開?，F(xiàn)在再給你一次機會，請問你是否要換3號門？這是一個概率決策問題，結(jié)論只有換與不換兩個。在當時引起了人

7、們極大的興趣，眾說紛紜，各種各樣的觀點都有。足以看出概率問題是有一定難度的。觀點一一位數(shù)學博士說：美國公民的數(shù)學水平也太差了，這三扇門后面有車的可能性是一樣的，都是1/3，所以不必換。觀點二假定主持人打開的是2號門，既然2號門后面沒有車，那么車要么在1號門后面，要么在3號門后面，概率各是1/2，所以不必換。觀點三車在1號門后面的概率是1/3，于是在2號門或3號門后面的概率就是2/3，現(xiàn)在既然2號門后面沒有車，所以車在3號門后面的概率為2/3，因此應該換。哈佛大學概率教授（Diaconis）應電視臺邀請，進行了表演。以一

8、張紅桃撲克牌表示車，兩張黑桃撲克牌表示羊。按照規(guī)則要求，演示了8次，結(jié)果是有6次顯示應當換。Diaconis教授說：概率的判斷是依靠大量試驗才獲得的。如果這個游戲允許多次重復，那一定是“換”為好。如果只給你一次機會，那是很難說的。分析由于隨機性，如果1號門后面確實是車，你猜對了，此時要換反而得不到車。如果1號門后面沒有車，此時換就