e不動(dòng)點(diǎn)方法求數(shù)列通項(xiàng)

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1、不動(dòng)點(diǎn)方法求數(shù)列通項(xiàng)第一章：引言本文主要是討論用不動(dòng)點(diǎn)的方法來(lái)解決數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題。當(dāng)我們知道了數(shù)列的遞推公式，然后最關(guān)心的就是如何求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)也是競(jìng)賽，高考中最常見(jiàn)的問(wèn)題。本文特別關(guān)注用分式函數(shù)，“耐克”函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)作為非線性數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)列通項(xiàng)。不動(dòng)點(diǎn)方法是大學(xué)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中的一種核心方法。本文就是通過(guò)結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)方法來(lái)解決已知某項(xiàng)遞推公式的通項(xiàng)公式。主要參考了多項(xiàng)式和有理函數(shù)的例外點(diǎn)集的處理方法，給出了一種解決數(shù)列迭代通項(xiàng)的問(wèn)題。同時(shí)指出，如果在競(jìng)賽和高考命題中，如果利用耐克函數(shù)迭代形式只有當(dāng)時(shí)，才能寫出通項(xiàng)。第二章：主要結(jié)果定義：對(duì)函數(shù)，若存在滿足，那么稱為函數(shù)

2、的不動(dòng)點(diǎn)。下面介紹不同幾類的數(shù)列的通項(xiàng)求法。1．，設(shè)，將看做。計(jì)算可得不動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造。將代入的表達(dá)式中可得是一個(gè)等比數(shù)列。由此可得：，故2．，且。若可以通過(guò)上下同除一個(gè)常數(shù)使得行列式為1。設(shè)，計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)可得方程，對(duì)于方程。因此，對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)而言，有三種不同情況。情況一：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記作。那么構(gòu)造，可得。這里或者，到底取哪個(gè)值與的構(gòu)造方法有關(guān)。由此可得，所以，所以4情況二：方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根，記作，此時(shí)。故那么構(gòu)造。可得。所以。，所以情況三：方程有兩個(gè)共軛虛根。當(dāng)共軛虛根時(shí)，數(shù)列往往顯示周期性。一般有如下規(guī)律。要么有，要么有。這個(gè)問(wèn)題還有待研究。3．以下要給出一系列多項(xiàng)

3、式和有理函數(shù)迭代的數(shù)列的公式。例1．，，求的通項(xiàng)。解：設(shè)，那么可得。構(gòu)造，可得。因此。所以，所以。例2．，，求的通項(xiàng)。解：作函數(shù)，求不動(dòng)點(diǎn)可得，。顯然構(gòu)造不改變?cè)瓉?lái)遞推形式。嘗試或者發(fā)現(xiàn)可以求出，因此。故，即。對(duì)于有理函數(shù)和多項(xiàng)式迭代什么時(shí)候可以用不動(dòng)點(diǎn)方式寫出通向公式?？梢詮囊韵露ɡ碇械贸鼋Y(jié)論。定義：設(shè)為有理函數(shù)，，，稱序列為在點(diǎn)的軌道，記作。4定義的大軌道。一個(gè)點(diǎn)稱為例外點(diǎn)，如果它的大軌道是有限點(diǎn)集，記例外集為。定理1：至多由兩個(gè)點(diǎn)組成。定理2:：若非空，當(dāng)，則有理函數(shù)可以共軛形如。所以，前面的有理函數(shù)迭代，其中不動(dòng)點(diǎn)恰好是例外點(diǎn)。因?yàn)槿艉瘮?shù)則有，由此可知，只有在這個(gè)大軌道中。故

4、可以通過(guò)設(shè)得到。下面我們來(lái)說(shuō)明，對(duì)于耐克函數(shù)迭代，可以通過(guò)移動(dòng)不動(dòng)點(diǎn)方法的情況這是唯一種。證明方法主要是通過(guò)計(jì)算例外點(diǎn)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。設(shè)，設(shè)，所以，，故。如果為例外點(diǎn)，只能有方程的解只能為代入方程可得，。由此可知，必須也是或者。故可知，故。當(dāng)，故。由此可知如果利用耐克函數(shù)構(gòu)造數(shù)列迭代，只有才能化解成。故我們得到命題。命題：對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的例外集為中有兩個(gè)點(diǎn)。推論：對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才有滿足。4第三章：?jiǎn)栴}本文只是考慮了較為簡(jiǎn)單的耐克的函數(shù)類，分式函數(shù)類和多項(xiàng)式函數(shù)類的問(wèn)題。對(duì)于更復(fù)雜的函數(shù)類該如何處理依舊是一個(gè)問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題在于如何計(jì)算何種函數(shù)才有兩個(gè)例外點(diǎn)。第四章：感謝首先感謝組

5、委會(huì)給我一個(gè)機(jī)會(huì)參與這個(gè)比賽，激發(fā)我的數(shù)學(xué)興趣，更要感謝丘先生舉辦如此一個(gè)比賽讓我們充分發(fā)揮自主學(xué)習(xí)性。同時(shí)也要感謝我的母校天山中學(xué)對(duì)我的教導(dǎo)。以及感謝我的指導(dǎo)老師楊靜樺博士的指導(dǎo)。謝謝他推薦我看一些大學(xué)的書籍，以至于我會(huì)了解很多數(shù)列迭代的本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)更加充滿了興趣。參考書目1．任福堯等，復(fù)動(dòng)力解析系統(tǒng)，1997年第一版2．歷年高考考卷3．歷年希望杯競(jìng)賽試卷4