不動點方法求數列通項

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1、不動點方法求數列通項第一章：引言本文主要是討論用不動點的方法來解決數列通項問題。當我們知道了數列的遞推公式，然后最關心的就是如何求出數列的通項公式。這個也是競賽，高考中最常見的問題。本文特別關注用分式函數，“耐克”函數，多項式函數作為非線性數列遞推關系的數列通項。不動點方法是大學動力系統(tǒng)的研究中的一種核心方法。本文就是通過結合不動點方法來解決已知某項遞推公式的通項公式。主要參考了多項式和有理函數的例外點集的處理方法，給出了一種解決數列迭代通項的問題。同時指出，如果在競賽和高考命題中，如果利用耐克函數迭代形式只有當時，才能寫出通項。第二章

2、：主要結果定義：對函數，若存在滿足，那么稱為函數的不動點。下面介紹不同幾類的數列的通項求法。1．，設，將看做。計算可得不動點，構造。將代入的表達式中可得是一個等比數列。由此可得：，故2．，且。若可以通過上下同除一個常數使得行列式為1。設，計算不動點可得方程，對于方程。因此，對于不動點的結構而言，有三種不同情況。情況一：方程有兩個不同的實數根，記作。那么構造，可得。這里或者，到底取哪個值與的構造方法有關。由此可得，所以，所以4情況二：方程有兩個相同實數根，記作，此時。故那么構造?？傻谩Ｋ?。，所以情況三：方程有兩個共軛虛根。當共軛虛根時，

3、數列往往顯示周期性。一般有如下規(guī)律。要么有，要么有。這個問題還有待研究。3．以下要給出一系列多項式和有理函數迭代的數列的公式。例1．，，求的通項。解：設，那么可得。構造，可得。因此。所以，所以。例2．，，求的通項。解：作函數，求不動點可得，。顯然構造不改變原來遞推形式。嘗試或者發(fā)現可以求出，因此。故，即。對于有理函數和多項式迭代什么時候可以用不動點方式寫出通向公式。可以從以下定理中得出結論。定義：設為有理函數，，，稱序列為在點的軌道，記作。4定義的大軌道。一個點稱為例外點，如果它的大軌道是有限點集，記例外集為。定理1：至多由兩個點組成。

4、定理2:：若非空，當，則有理函數可以共軛形如。所以，前面的有理函數迭代，其中不動點恰好是例外點。因為若函數則有，由此可知，只有在這個大軌道中。故可以通過設得到。下面我們來說明，對于耐克函數迭代，可以通過移動不動點方法的情況這是唯一種。證明方法主要是通過計算例外點的方法來實現。設，設，所以，，故。如果為例外點，只能有方程的解只能為代入方程可得，。由此可知，必須也是或者。故可知，故。當，故。由此可知如果利用耐克函數構造數列迭代，只有才能化解成。故我們得到命題。命題：對于，當且僅當時，的例外集為中有兩個點。推論：對于，當且僅當時，才有滿足。4

5、第三章：問題本文只是考慮了較為簡單的耐克的函數類，分式函數類和多項式函數類的問題。對于更復雜的函數類該如何處理依舊是一個問題。關鍵問題在于如何計算何種函數才有兩個例外點。第四章：感謝首先感謝組委會給我一個機會參與這個比賽，激發(fā)我的數學興趣，更要感謝丘先生舉辦如此一個比賽讓我們充分發(fā)揮自主學習性。同時也要感謝我的母校天山中學對我的教導。以及感謝我的指導老師楊靜樺博士的指導。謝謝他推薦我看一些大學的書籍，以至于我會了解很多數列迭代的本質，對數學更加充滿了興趣。參考書目1．任福堯等，復動力解析系統(tǒng)，1997年第一版2．歷年高考考卷3．歷年希望

6、杯競賽試卷4