值域_求值域的方法大全及習(xí)題加詳解

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1、求值域方法函數(shù)值域的求法方法有好多,主要是題目不同,或者說(shuō)稍微有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)問(wèn)題,對(duì)我們來(lái)說(shuō),解題的思路可能就會(huì)出現(xiàn)非常大的區(qū)別.這里我主要弄幾個(gè)出來(lái),大家一起看一下吧.函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，求函數(shù)的值域要注意優(yōu)先考慮定義域&常用求值域方法（1）、直接觀察法：利用已有的基本函數(shù)的值域觀察直接得出所求函數(shù)的值域?qū)τ谝恍┍容^簡(jiǎn)單的函數(shù)，如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),等等,其值域可通過(guò)觀察直接得到。例1、求函數(shù)的值域。（??）例2、求函數(shù)的值域。（??）答案：值域是：【同步練習(xí)1】函數(shù)的值域.（??）解：（2）、配方法：二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為形如類(lèi)的函數(shù)的值域問(wèn)題

2、，均可用配方法，而后一情況要注意的范圍；配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例1、求函數(shù)的值域。（??）例2、求函數(shù)的值域。（???）解：將函數(shù)配方得：∵由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：[4，8]例3、求。（????）（配方法、換元法）解：………所以當(dāng)時(shí)，有最小值-2。故所求函數(shù)值域?yàn)閇-2，+∞）。例4、設(shè)，求函數(shù)的值域．解：，，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，函數(shù)的值域?yàn)椋u(píng)注：配方法往往需結(jié)合函數(shù)圖象求值域．例5、求函數(shù)的值域。（????）（配方法、換元法）解：=，所以，故所求函數(shù)值域?yàn)閇，+∞]。例6、求函數(shù)的值域。（???）（配方

3、法）。【同步練習(xí)2】（???）1、求二次函數(shù)（）的值域.（??）2、求函數(shù)的值域.（???）3、求函數(shù)的最大值與最小值.（????）4、求函數(shù)的最大值和最小值.（???）5、已知，求函數(shù)的值域.（???）6、若,試求的最大值。（????）最大值。（3）、換元法：（三角換元法）有時(shí)候?yàn)榱藴贤ㄒ阎c未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個(gè)（幾個(gè)）新的量來(lái)代替原來(lái)的量，實(shí)行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向，這就是換元法．在求值域時(shí)，我們可以通過(guò)換元將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．例1、求的值域．解：令，則，，所以函數(shù)值域?yàn)椋u(píng)注

4、：利用引入的新變量，使原函數(shù)消去了根號(hào)，轉(zhuǎn)化成了關(guān)于的一元二次函數(shù)，使問(wèn)題得以解決．用換元法求函數(shù)值域時(shí)，必須確定新變量的取值范圍，它是新函數(shù)的定義域．小結(jié)：【同步練習(xí)3】求函數(shù)的值域。解：由，得。令得，于是，因?yàn)椋?。故所求函?shù)值域?yàn)閇-∞，]。例2、求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則。所以，故所求函數(shù)值域?yàn)?。【同步練?xí)4】求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋盒〗Y(jié)：【同步練習(xí)5】1、求函數(shù)的值域.（??）2、求函數(shù)的值域。（????）解：因即故可令∴∵故所求函數(shù)的值域?yàn)?、已知函數(shù)的值域?yàn)?，求函?shù)的值域.（???）（4）、函數(shù)有界性法（方程法）直接求函數(shù)的值域

5、困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。我們所說(shuō)的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例1、求函數(shù)的值域。解：因?yàn)椋?，則由于，所以，解得。故所函數(shù)的值域?yàn)閇-2，-]。求函數(shù)的值域例2、求函數(shù)的值域。解：因?yàn)?，所以，即，所以，令，得，由，解得，故所函?shù)的值域?yàn)閇-2，]。【同步練習(xí)6】求函數(shù)，，的值域.（5）、數(shù)形結(jié)合法（函數(shù)的圖像）：對(duì)于一些函數(shù)（如二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的求值域問(wèn)題，我們可以借助形象直觀的函數(shù)圖象來(lái)觀察其函數(shù)值的變化情況，再有的放矢地通過(guò)函數(shù)解析式求函數(shù)最值，確定函數(shù)值域，用數(shù)形結(jié)合法，使運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化．其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意

6、義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類(lèi)題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。例1、求函數(shù)的值域．分析：求分段函數(shù)的值域可作出它的圖象，則其函數(shù)值的整體變化情況就一目了然了，從而可以快速地求出其值域．解：作圖象如圖所示．，，，，函數(shù)的最大值、最小值分別為和，即函數(shù)的值域?yàn)椋?、求函數(shù)的值域.解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋豪?、求函數(shù)的值域.解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x

7、軸的交點(diǎn)時(shí)，，故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?、求函數(shù)的值域.解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?7，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：