儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定

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1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況.許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變.按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定.圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及

2、形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體.圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖.請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題.（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無變位和傾斜角為a=4.1°的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示.請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值.（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)

3、油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）之間的一般關(guān)系.請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值.進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性.附件1：小橢圓儲(chǔ)油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)附件2：實(shí)際儲(chǔ)油罐的檢測(cè)數(shù)據(jù)油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針9油位探針α地平線圖2儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測(cè)裝

4、置注油口檢查口水平線圖3儲(chǔ)油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測(cè)裝置3m(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖圖4小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖92010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題解法評(píng)述該問題是來自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題，問題由兩大部分組成：（1）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對(duì)罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出油位高度和油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，建

5、模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬于“正問題”.（2）根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，正確識(shí)別罐體是如何變位的，具體變了多少？同時(shí)要給出罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果，屬于“反問題”.具體解法如下：第一部分：小橢圓型實(shí)驗(yàn)罐的有關(guān)問題按如下方式引入空間直角坐標(biāo)系OXYZ（左手系）：以油位探針?biāo)谥本€與罐體底部的交點(diǎn)為原點(diǎn)O；以罐體經(jīng)過原點(diǎn)O的高為X軸，X軸正向指向罐體右端；以油位探針為Z軸，h增加的方向?yàn)閆軸正方向.符號(hào)說明：a、b分別為罐體截面橢圓的長(zhǎng)、短半軸（a=0.89m,b=0.6m）；L為罐體長(zhǎng)度，L1、L2分別為罐體左

6、、右截面到油位探針的距離（L1=0.4m,L2=2.05m,L=L1+L2=2.45m）；為罐內(nèi)的油位高度；a為罐體縱向傾斜角度；為罐體縱向傾斜a角時(shí)、油位高度為h時(shí)的實(shí)際罐容量的理論值；為對(duì)應(yīng)的實(shí)際值；為罐體縱向傾斜a角、油位高度為h時(shí)，截面X=x處油面到罐底的距離；簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為.于是有（1）無變位情況下，，，容易求得：代入?yún)?shù)的具體值，可計(jì)算得到無變位情況下的罐容表（理論值，見表1）.表1：無變位情況下小橢圓罐的罐容表部分結(jié)果油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L10

7、163.59401199.31702489.151003659.8820450.27501621.00802910.841103946.5530803.54602055.07903306.611204110.15計(jì)算表1的MATLAB腳本：9a=8.9;b=6;L=24.5;V0=@(h)L.*(pi/2*a*b+a/b.*(h-b).*sqrt(2*b.*h-h.*h)+a*b.*asin(h./b-1));H=(0.1:.1:12)';D0=V0(H);評(píng)注1：對(duì)附件一在無變位情況下進(jìn)油（或出油）的油位高度與實(shí)際罐容量

8、數(shù)據(jù)作3次樣條插值，并與理論值比較，可以得到修正公式，但是這一步評(píng)閱要點(diǎn)沒有要求。（2）罐體縱向傾斜a角時(shí)，僅考慮a>0.容易看出（）：現(xiàn)在，，.可以分三種情況討論：情況一，當(dāng)時(shí)，即，有此時(shí)，有(1)情況二，當(dāng)時(shí)，即，有此時(shí)，有(2)情況三，當(dāng)時(shí)，即，有此時(shí)，有(3)記函數(shù)9用MATLAB的數(shù)值積分函數(shù)