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《數(shù)理方程__波動(dòng)方程的分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、數(shù)學(xué)與物理方程——波動(dòng)方程的分析-5-波動(dòng)方程的分析摘要:波動(dòng)方程是一個(gè)二階線性偏微分方程。解二階偏微分方程的主要方法是分離變量法。在下面介紹波動(dòng)方程是怎樣導(dǎo)出來的，它的物理意義是什么，在不同的坐標(biāo)系里波動(dòng)方程的表達(dá)式應(yīng)該怎么寫，有什么邊界條件，在給定的邊界條件下怎么用分離變量法得到波動(dòng)方程的解等等問題。關(guān)鍵詞:波動(dòng)方程；分離變量法；邊界條件；本征方程；本征值；本征函數(shù)1引言波動(dòng)方程也可叫做波方程。它是一種重要的偏微分方程，通常表述所有種類的波，例如聲波，光波和水波等。它出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)。波動(dòng)方程的變種可以在量子力學(xué)和廣義相對(duì)論中見到。歷史上，像樂器那樣的
2、振動(dòng)弦問題曾被很多科學(xué)家研究過，其中包括達(dá)朗貝爾，歐拉，丹尼爾·伯努利，和拉格朗日。2波動(dòng)方程的導(dǎo)出(1)波動(dòng)方程是從均勻直棒的彈性形變過程中推得的，一般來說，它適用于各向同性的均勻介質(zhì)。(2)波動(dòng)方程等號(hào)兩邊分別是未知量y對(duì)變量t和對(duì)變量x的二階偏導(dǎo)數(shù)的正比函數(shù)，所以該波動(dòng)方程是線性的。之所以會(huì)得到線性方程，這是因?yàn)樵摬▌?dòng)方程是根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律推導(dǎo)出來的，而這兩個(gè)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式都是線性方程。(3)波動(dòng)方程是線性方程，則從理論上保證了波動(dòng)滿足疊加原理。如果和都是波動(dòng)方程的解，即以下兩式成立（1）（2）將以上兩式相加，得（3）-5-這表示，也是波動(dòng)方程的解。表示兩列波的疊加
3、。所以說，線性的波動(dòng)方程從理論上保證了波動(dòng)滿足疊加原理。(4)胡克定律表示，在比例極限以內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變滿足線性關(guān)系。在比例極限之內(nèi)的應(yīng)變必定是幅度很小的形變，這就是說，滿足上述波動(dòng)方程的波，一定是振幅很小的波，當(dāng)這樣的波傳來時(shí)，所引起的介質(zhì)各部分的形變也是很小的。(5)平面簡諧波波函數(shù)是波動(dòng)方程的解。既然平面簡諧波波函數(shù)是波動(dòng)方程的解，由于波動(dòng)方程是線性方程，所以不同振幅、不同頻率的平面簡諧波波函數(shù)的線性組合也一定是波動(dòng)方程的解。那么不同振幅、不同頻率的平面簡諧波波函數(shù)的線性組合是什么波呢？根據(jù)傅利葉理論，這種線性組合是任意的周期性波(有限項(xiàng)組合)或任意的非周期性波(無限項(xiàng)組合)。3
4、波動(dòng)方程的物理意義波動(dòng)方程就是描述波動(dòng)現(xiàn)象的偏微分方程，它的物理意義很寬泛。不過波動(dòng)方程一個(gè)很重要的性質(zhì)是傳播速度有限。電磁場的運(yùn)動(dòng)方程是波動(dòng)方程這說明電磁相互作用只能以有限的速度傳播（光速c），而沒有瞬時(shí)的作用（即超距作用）。這是導(dǎo)致狹義相對(duì)論建立的一個(gè)重要思想。波動(dòng)是指很多質(zhì)點(diǎn)的集體振動(dòng)，它們的振動(dòng)不相互獨(dú)立，而是相互作用的，一維波動(dòng)方程（4）的物理意義為一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，而且不受不隨時(shí)間而變的張力作用及本身的重力，不受外力影響的情況下的振動(dòng)。弦受到外力作用時(shí)方程變?yōu)椋海?）形式。其中（6）表示t時(shí)刻單位質(zhì)量的弦在x點(diǎn)處所受的外力密度。這個(gè)方程叫做強(qiáng)迫振動(dòng)方程
5、，是一維非齊次波動(dòng)方程。兩個(gè)方程中的均等于。-5-是弦的線密度，T是弦所受的張力。此外電路中的傳輸線方程也是一維波動(dòng)方程?？梢詫懗桑?）或（8）形式。其中是電源電壓，是電流，R是回路單位的串聯(lián)電阻，L是回路單位的串聯(lián)電感，C是單位長度的分路電容，G是單位長度的分路電導(dǎo)。當(dāng)G=R=0時(shí)方程可以簡化為（9）或（10）的形式。4波動(dòng)方程在不同坐標(biāo)系中的表達(dá)式球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系是我們經(jīng)常討論的空間坐標(biāo)系，波動(dòng)方程在空間坐標(biāo)系中的一般表達(dá)式為：（11）此方程滿足球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中波動(dòng)方程的表達(dá)式。球坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程的一般表達(dá)式：（12）柱坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程的一般表達(dá)式：-5-（13）5波動(dòng)
6、方程的三種邊界條件第一類邊界條件：固定端，即弦在振動(dòng)過程中這個(gè)斷點(diǎn)始終保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為或第二類邊界條件：自由端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)不受位移方向的外力，從而在這個(gè)端點(diǎn)弦在位移方向的張力應(yīng)改為零。此時(shí)所對(duì)應(yīng)的邊界條件為：或第三類邊界條件：彈性支承端，即弦在這個(gè)端點(diǎn)被某個(gè)彈性體所支承。設(shè)彈性支承原來的位置為，則就表示彈性支承的應(yīng)變，有胡克定律可知，這時(shí)弦在處沿位移方向的張力應(yīng)該等于，即或其中為彈性體的倔強(qiáng)系數(shù)，。6波動(dòng)方程在給定的邊界條件下的解法解波動(dòng)方程的主要方法是分離變量法，分離變量法的主要步驟大體分為：一，首先將偏微分方程的定解問題通過分離變量轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解題
7、。-5-二，確定特征值與特征函數(shù)，由于特征函數(shù)是要經(jīng)過疊加的，所以用來確定特征函數(shù)的方程與條件，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過疊加之后仍要慢滿足。當(dāng)邊界條件是其次時(shí)，求特征函數(shù)就是求一個(gè)常微分方程滿足另邊界條件的非零解。三，定出特征值，特征函數(shù)之后，再解其他的常微分方程，把得到的解與特征函數(shù)乘起來成為，這時(shí)中還包含著任意常數(shù)。四，最后為了使解滿足其余的定解條件，需要把所有的疊加起來成為級(jí)數(shù)形式，這是級(jí)數(shù)中的一系列任意常數(shù)就由其余的條件確定。在最后的一部工作中，需要把已知函數(shù)展
