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1、數(shù)學與物理方程——波動方程的分析-5-波動方程的分析摘要:波動方程是一個二階線性偏微分方程。解二階偏微分方程的主要方法是分離變量法。在下面介紹波動方程是怎樣導出來的，它的物理意義是什么，在不同的坐標系里波動方程的表達式應該怎么寫，有什么邊界條件，在給定的邊界條件下怎么用分離變量法得到波動方程的解等等問題。關鍵詞:波動方程；分離變量法；邊界條件；本征方程；本征值；本征函數(shù)1引言波動方程也可叫做波方程。它是一種重要的偏微分方程，通常表述所有種類的波，例如聲波，光波和水波等。它出現(xiàn)在不同領域，例如聲學，電磁學，和流體力學。波動方程的變種可以在量子力學和廣義相對論中見到。歷史上，像樂器
2、那樣的振動弦問題曾被很多科學家研究過，其中包括達朗貝爾，歐拉，丹尼爾·伯努利，和拉格朗日。2波動方程的導出(1)波動方程是從均勻直棒的彈性形變過程中推得的，一般來說，它適用于各向同性的均勻介質。(2)波動方程等號兩邊分別是未知量y對變量t和對變量x的二階偏導數(shù)的正比函數(shù)，所以該波動方程是線性的。之所以會得到線性方程，這是因為該波動方程是根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律推導出來的，而這兩個定律的數(shù)學表達式都是線性方程。(3)波動方程是線性方程，則從理論上保證了波動滿足疊加原理。如果和都是波動方程的解，即以下兩式成立（1）（2）將以上兩式相加，得（3）-5-這表示，也是波動方程的解。表示
3、兩列波的疊加。所以說，線性的波動方程從理論上保證了波動滿足疊加原理。(4)胡克定律表示，在比例極限以內，應力與應變滿足線性關系。在比例極限之內的應變必定是幅度很小的形變，這就是說，滿足上述波動方程的波，一定是振幅很小的波，當這樣的波傳來時，所引起的介質各部分的形變也是很小的。(5)平面簡諧波波函數(shù)是波動方程的解。既然平面簡諧波波函數(shù)是波動方程的解，由于波動方程是線性方程，所以不同振幅、不同頻率的平面簡諧波波函數(shù)的線性組合也一定是波動方程的解。那么不同振幅、不同頻率的平面簡諧波波函數(shù)的線性組合是什么波呢？根據(jù)傅利葉理論，這種線性組合是任意的周期性波(有限項組合)或任意的非周期性波
4、(無限項組合)。3波動方程的物理意義波動方程就是描述波動現(xiàn)象的偏微分方程，它的物理意義很寬泛。不過波動方程一個很重要的性質是傳播速度有限。電磁場的運動方程是波動方程這說明電磁相互作用只能以有限的速度傳播（光速c），而沒有瞬時的作用（即超距作用）。這是導致狹義相對論建立的一個重要思想。波動是指很多質點的集體振動，它們的振動不相互獨立，而是相互作用的，一維波動方程（4）的物理意義為一根均勻柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，而且不受不隨時間而變的張力作用及本身的重力，不受外力影響的情況下的振動。弦受到外力作用時方程變?yōu)椋海?）形式。其中（6）表示t時刻單位質量的弦在x點處所受的外力密度。
5、這個方程叫做強迫振動方程，是一維非齊次波動方程。兩個方程中的均等于。-5-是弦的線密度，T是弦所受的張力。此外電路中的傳輸線方程也是一維波動方程?？梢詫懗桑?）或（8）形式。其中是電源電壓，是電流，R是回路單位的串聯(lián)電阻，L是回路單位的串聯(lián)電感，C是單位長度的分路電容，G是單位長度的分路電導。當G=R=0時方程可以簡化為（9）或（10）的形式。4波動方程在不同坐標系中的表達式球坐標系和柱坐標系是我們經常討論的空間坐標系，波動方程在空間坐標系中的一般表達式為：（11）此方程滿足球坐標系和柱坐標系中波動方程的表達式。球坐標系中的波動方程的一般表達式：（12）柱坐標系中的波動方程的一
6、般表達式：-5-（13）5波動方程的三種邊界條件第一類邊界條件：固定端，即弦在振動過程中這個斷點始終保持不動，對應于這種狀態(tài)的邊界條件為或第二類邊界條件：自由端，即弦在這個端點不受位移方向的外力，從而在這個端點弦在位移方向的張力應改為零。此時所對應的邊界條件為：或第三類邊界條件：彈性支承端，即弦在這個端點被某個彈性體所支承。設彈性支承原來的位置為，則就表示彈性支承的應變，有胡克定律可知，這時弦在處沿位移方向的張力應該等于，即或其中為彈性體的倔強系數(shù)，。6波動方程在給定的邊界條件下的解法解波動方程的主要方法是分離變量法，分離變量法的主要步驟大體分為：一，首先將偏微分方程的定解問題
7、通過分離變量轉化為常微分方程的定解題。-5-二，確定特征值與特征函數(shù)，由于特征函數(shù)是要經過疊加的，所以用來確定特征函數(shù)的方程與條件，當函數(shù)經過疊加之后仍要慢滿足。當邊界條件是其次時，求特征函數(shù)就是求一個常微分方程滿足另邊界條件的非零解。三，定出特征值，特征函數(shù)之后，再解其他的常微分方程，把得到的解與特征函數(shù)乘起來成為，這時中還包含著任意常數(shù)。四，最后為了使解滿足其余的定解條件，需要把所有的疊加起來成為級數(shù)形式，這是級數(shù)中的一系列任意常數(shù)就由其余的條件確定。在最后的一部工作中，需要把已知函數(shù)展
