數(shù)理方程-波動方程的導出

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1、波動方程的導出幾個常用的物理定律?波動方程的定解條件?弦的橫向振動問題?細桿的縱向振動問題牛頓第二定律:F=maa—物體加速度;F—合外力;m—物體質(zhì)量付里葉熱傳導定律:Q—熱量;T—溫度;κ—熱導率虎克定律:(1)f=–kx;f—彈力;k—彈性系數(shù);x—彈簧伸長(2)p=Yux;Y—楊氏模量;ux—相對伸長牛頓冷卻定律:q=k(u

2、S–u0)q—熱流密度;u0—外界溫度;u

3、S—物體溫度導數(shù)的意義:速度加速度弦的橫向振動問題一根均勻柔軟的細弦線,一端固定在坐標原點,另一端沿x軸拉緊固定在x軸上的L處，受到擾動，開

4、始沿x軸(平衡位置)上下作微小橫振動(細弦線上各點運動方向垂直于x軸)。試建立細弦線上任意點位移函數(shù)u(x,t)所滿足的規(guī)律。uxT1T2Oxx+dxρgdsds設(shè)細弦上各點線密度為ρ,細弦上質(zhì)點之間相互作用力為張力T(x，t)水平合力為零?T2cos?2－T1cos?1=0cos?1≈cos?2≈1?T2≈T1≈T（為什么？）鉛直合力:F=maT(sin?2－sin?1)=ρdsuttsin?1≈tan?1（為什么?）?T(tan?2－tan?1)=ρdsuttds≈dx其中一維波動方程:utt=a2uxx考慮有

5、恒外力密度F(x，t)作用時，可以得到一維波動方程的非齊次形式utt=a2uxx+f(x,t)T[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=ρdsutt?utt=a2uxx其中f(x,y)=F(x,y)/ρ.細桿的縱向振動問題細桿縱向振動時，細桿各點伸縮，質(zhì)點位移u(x，t)改變，質(zhì)點位移相對伸長記為ux。u(x,t)u(x+dx,t)xx+dxLO均勻細桿長為L，線密度為?，楊氏模量為Y，桿的一端固定在坐標原點，細桿受到沿桿長方向的擾動(沿x軸方向的振動)桿上質(zhì)點位移函數(shù)u(x，t)。細桿的縱向振動問題u(x,t)

6、u(x+dx,t)xx+dxLO相對伸長：ux導數(shù)定義：當dx很小時，有用牛頓第二定律令a2=Y/?,dx→0?；?，得SY[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=?Sdxuttutt=a2uxxT(x,t)=SYux(x,t),T(x+dx,t)=SYux(x+dx,t)?SY[ux(x+dx,t)–ux(x,t)]截面應力P=Yux,Y是楊氏模量。截面的張力T=SP弦振動問題定解條件細弦一端固定在坐標原點,另一端固定在x軸上的L處.受到垂直于x軸方向的擾動,作微小橫振動。初始條件包括初始位移和初始速度。邊界條

7、件表示端點狀態(tài)初始條件表示歷史狀態(tài)u(x,t)

8、x=0=0,u(x,t)

9、x=L=0或:u(0,t)=0,u(L,t)=0初始條件:邊界條件：弦振動問題定解條件u(x,t)

10、t=0=?(x),ut(x,t)

11、t=0=g(x)或:u(x,0)=?(x),ut(x,0)=g(x)OLL/2hxu波動方程定解條件I波動方程定解條件II細弦的線密度為?,一端固定在坐標原點,另一端固定在x軸上的L處.弦的中點受到垂直于x軸方向的沖量I的作用,作微小橫振動。函數(shù)u(x,t)表示位移波動方程定解條件IIILu(L,t)O細桿在x

12、=0點固定,在x=L處受外力F(t)作用?F(t)–SYux(L,t)=0?波動方程定解條件IV弦的一端固定在原點,另一端與x軸上L處的彈簧相接.受到擾動,作上下微小橫振動。在右端點處(張力=彈性力):令?=T/K,得[u+?ux]x=L=0Tux=-Kuu(x,t)

13、x=0=0,u(x,t)

14、x=L=0初始條件:邊界條件：弦振動問題定解條件u(x,t)

15、t=0=?(x),ut(x,t)

16、t=0=g(x)[u+?ux]x=L=0第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件習題2.1（P.22）1、2