第2講 函數(shù)值域的求法

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1、數(shù)學(xué)第2講函數(shù)值域的求法一、配方法：對于求二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù)的值域（最值）一類問題，我們常?？梢酝ㄟ^配方法來進行求解.例1：求二次函數(shù)（）的值域.解：函數(shù)的定義域為，，從而函數(shù)為對稱軸為的開口向下的二次函數(shù)，，.即函數(shù)的值域為.例2：求函數(shù)的值域.解:此題可以看作是和兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),對配方可得:,得到函數(shù)的最大值,再根據(jù)得到為增函數(shù)且,故函數(shù)的值域為:.例3：求函數(shù)的最大值與最小值。例4：求函數(shù)的最大值和最小值。二、換元法：通過引入一個或多個新變量或代數(shù)式代替原來的變量或代數(shù)式或超越式，通過換元，我們常?？梢曰叽螢?/p>

2、低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式等，這樣我們就能將比較復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于求值域的函數(shù)進行求解.例6：（整體換元）已知，求函數(shù)的值域.解：令，，，則。故當(dāng)即也即時，有最小值；當(dāng)即也即時，有最小值.函數(shù)的值域為.例7：（整體換元）求函數(shù)的值域.解：函數(shù)的定義域為，令，那么，。當(dāng)即也即時，函數(shù)有最大值；函數(shù)無最小值.函數(shù)的值域為.高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)點評：對于形如（、、、為常數(shù)，）的函數(shù)，我們可以利用換元法求其值域.例10：已知函數(shù)的值域為，求函數(shù)的值域。解：令，由得：，∴所求值域為。三、不等式法：例11：求函數(shù)（）的值域.

3、解：當(dāng)即時，（當(dāng)即時取得“”）；當(dāng)即時，（當(dāng)即時取得“”）；的值域為.例13：求函數(shù)的值域.解:,當(dāng)且僅當(dāng)時成立.故函數(shù)的值域為.例14：求函數(shù)的值域.解:此題可以利用判別式法求解,這里考慮運用基本不等式法求解此題,此時關(guān)鍵是在分子中分解出項來,可以一般的運用待定系數(shù)法完成這一工作,辦法是設(shè):,(2)將上面等式的左邊展開,有:,故而,.解得,.從而原函數(shù);ⅰ)當(dāng)時,,,此時,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng).ⅱ)當(dāng)時,,,此時有,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng).綜上,原函數(shù)的值域為:.四、單調(diào)性法：對于形如（、、、為常數(shù)，高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)）或者形如而使用不等式法求

4、值域卻未能湊效的函數(shù)，我們往往可以考慮使用單調(diào)性法.例15：求函數(shù)的值域.解：函數(shù)的定義域為，顯然函數(shù)在其定義域上是單調(diào)遞增的，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，故函數(shù)的值域為.例16：求函數(shù)（）的值域.解：，若用不等式法，那么等號成立的條件為即，顯然這樣的實數(shù)不存在，那么我們就不能使用不等式法來求解了.為了簡化函數(shù)，我們不妨先進行一下?lián)Q元，設(shè)（），則函數(shù)就轉(zhuǎn)化為，，現(xiàn)在我們考查一下函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在、上都單調(diào)遞減；而在、上單調(diào)遞增.那么當(dāng)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)即也即時，函數(shù)有最小值，函數(shù)的值域為.例17：求函數(shù)的值域。解：令，則在[2，10

5、]上都是增函數(shù)，所以在[2，10]上是增函數(shù)。當(dāng)x=2時，，當(dāng)x=10時，故所求函數(shù)的值域為：。例18：求函數(shù)的值域.解:此題可以看作和,的復(fù)合函數(shù),顯然函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),易驗證亦是單調(diào)遞增函數(shù),故函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù).而此函數(shù)的定義域為.當(dāng)時,取得最小值.當(dāng)時,取得最大值.故而原函數(shù)的值域為.例19：求函數(shù)的值域。高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)提示：，，∴都是增函數(shù)，故是減函數(shù)，因此當(dāng)時，，又∵，∴。例20：求函數(shù)的值域。略解：易知定義域為，而在上均為增函數(shù)，∴，故五、判別式法：一般地，形如、、的函數(shù)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為（）的形式，再通過求得的范圍

6、.但當(dāng)函數(shù)為指定區(qū)間上的函數(shù)時，用判別式法求出的范圍后，應(yīng)將端點值代回到原函數(shù)進行檢驗，避免發(fā)生錯誤.例21：求函數(shù)的值域.解：可化為當(dāng)即時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)有唯一解；當(dāng)即時，，，即解得，函數(shù)的值域為例22：求函數(shù)的值域.解:先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得:,(1)這是一個關(guān)于的一元二次方程,原函數(shù)有定義,等價于此方程有解,即方程(1)的判別式,解得:.故原函數(shù)的值域為:.例23：已知函數(shù)的定義域為，值域為，求的值.解：設(shè)，則.，即又，關(guān)于的一元二次方程的兩根為1和9，由韋達(dá)定理得，解得若時，對應(yīng)，符合條件.高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)為所求.【例20

7、】設(shè)函數(shù)的值域為，求a,b.1化歸二次方程有實數(shù)解，利用判別式構(gòu)造值域的不等式，借助根與系數(shù)的關(guān)系布列方程組求解.【例21】已知函數(shù)y=f(x)=的值域為[1,3],求實數(shù)b,c的值.2解法同上，變形有（y-2）x2-bx+（y-c）=0，⊿=b—4（y-2）（y-c）=4y2-4（2+c）y+8c-b2＞0，其解集為[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2時也適合.六、方程法：用方程法求解函數(shù)值域是指利用方程有解的條件求函數(shù)值的取值范圍即值域的方法，其理論依據(jù)是：定理1：函數(shù)（定義域為）的值域是使關(guān)于的方程有屬于的解的值的集合.定理

8、2：若為最簡有理分式，則函數(shù)的值域是使關(guān)于的方程有解的值的集合.例24：求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，∵，∴，解得：，故所求函數(shù)的值域為例25：求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即，∵，∴，即，解得：故函