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《淺析無(wú)理型函數(shù)值域的幾種常規(guī)求法.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、淺析無(wú)理型函數(shù)值域的幾種常規(guī)求法一、觀察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域及其解析式的分析，從而確定函數(shù)值域。例1．求函數(shù)y＝3＋值域。解：∵≥2，∴函數(shù)值域?yàn)閇5，+。二、單調(diào)性法：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，那么在該區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)取得最值。例2．求函數(shù)y＝x－的值域?！ 〗猓汉瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)y=x和函數(shù)y＝－在上均為單調(diào)遞增函數(shù)，故y≤＝，因此，函數(shù)y＝x－的值域是(-∞，]。三、換元法：通過(guò)代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法，把無(wú)理函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)來(lái)求函數(shù)值域的方法。例3．求函數(shù)y＝x+的值域。解：定義域?yàn)閤∈，令t
2、＝(t≥0)，則x＝于是y＝－(t－1)2＋1，由t≥0知函數(shù)的值域?yàn)椹v－∞，１]。本題是通過(guò)換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但是換元后要注意新元的范圍。對(duì)于形如“”的函數(shù),此法適用于根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無(wú)理函數(shù)，一般令，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，當(dāng)然也適用于“”的函數(shù)。例4.求函數(shù)的值域。解：令，則且，則。當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。故函數(shù)值域?yàn)?。另外對(duì)于根號(hào)下的是2次的，我們同樣可以處理：例5．求函數(shù)y＝x+的值域。解：∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，∴設(shè)x＝cos，∈［0，］則y＝cos+sin＝sin（
3、+），∵∈［0，］，∴+∈［，］，∴sin（+）∈［－，1］，∴sin（+）∈［－1，］，∴函數(shù)y＝x+的值域?yàn)椋郏?，］。其次如果有兩個(gè)根號(hào)的話，我們也可以處理：例6.求函數(shù)的值域。解：由，得。令且，則。由，得，則，故函數(shù)的值域?yàn)椤?duì)于形如“”的函數(shù),此法適用于兩根號(hào)內(nèi)自變量都是一次，且，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，如，則可作代換，且，即可化為型的函數(shù)。四、配方法：通過(guò)平方或換元化為形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)，借助配方法求函數(shù)的值域，要注意x的取值范圍。例7．求函數(shù)y＝的值域。5解：∵1－x≥0，且
4、x≥0，∴0≤x≤1，又y＞0，∴y2＝x+1－x+2＝1+2令t＝－x2+x＝－（x－）2+，∵0≤x≤1，∴0≤t≤，∴0≤≤，∴y2∈［1，2］，∴函數(shù)y＝的值域?yàn)椋?，］。五、數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)解析式的幾何意義，把求函數(shù)值域的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率或距離的范圍問(wèn)題?！ ±?．求函數(shù)f(x)＝－的值域。解：f(x)＝－＝－f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P(x，0)到點(diǎn)A(－1，2)與點(diǎn)B(－1，1)的距離之差，求f(x)的值域就轉(zhuǎn)化為求P(x，0)到點(diǎn)A(－1，2)與點(diǎn)B(－1，1)的距離之差的范圍問(wèn)題（如圖），∵
5、P
6、A
7、－
8、PB
9、≤
10、AB
11、(當(dāng)且僅當(dāng)P、A、B共線時(shí)取等號(hào))，∴
12、PA
13、－
14、PB
15、≤1，即f(x)≤1，∴f(x)＝－的值域是。高中數(shù)學(xué)無(wú)理函數(shù)值域的常見(jiàn)求法一、形如“”的函數(shù)例1.求函數(shù)的值域。解：令，則且，則。當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。故函數(shù)值域?yàn)椤?說(shuō)明：此法適用于根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)相同的無(wú)理函數(shù)，一般令，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，當(dāng)然也適用于“”的函數(shù)。二、形如“”的函數(shù)例2.求函數(shù)的值域。解：由。令且[]，則。由，得。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故函數(shù)值域?yàn)?。說(shuō)明：這類函數(shù)根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)不同，不適合第一類型的解法
16、。又且的函數(shù)定義域一定為閉區(qū)間，如，則可作三角代換為且，即可化為＋k型函數(shù)。至于且及其他類型，可自己分析一下。三、形如“”的函數(shù)例3.求函數(shù)的值域。解：由，得。令且，5則。由，得，則，故函數(shù)的值域?yàn)?。說(shuō)明：此法適用于兩根號(hào)內(nèi)自變量都是一次，且，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，如，則可作代換，且，即可化為型的函數(shù)。5
