偏微分大型作業(yè)

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1、應(yīng)用偏微分方程大型作業(yè)電信提高0901班呂祺U200913911應(yīng)用偏微分方程大型作業(yè)一：種群演化規(guī)律的數(shù)學(xué)描述設(shè)在給定時(shí)刻，年齡為的某種群（動(dòng)物、植物、細(xì)菌、細(xì)胞等）的分布密度為，例如，每單位體積中細(xì)菌數(shù)量、每單位體積中細(xì)胞數(shù)量、每平方公里范圍內(nèi)動(dòng)物的數(shù)量等，初始分布密度為，該種群的最大年齡為。假設(shè)在任意時(shí)刻，該種群的出生率為，而年齡為的種群的死亡率為隨機(jī)數(shù)。試建立數(shù)學(xué)模型描述此種群密度滿足的微分方程和定解條件，并求解此定解問題。如果記時(shí)刻以上種群的總數(shù)為，建立滿足的微分方程和定解條件，并求解此定解問題。如果年齡為的種群的死亡率為隨機(jī)過程，請(qǐng)給出合乎實(shí)際的假設(shè)來建立相應(yīng)的數(shù)

2、學(xué)模型，并對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型給出理論分析或數(shù)值模擬。解：年齡為的種群的死亡率為隨機(jī)數(shù)時(shí)，根據(jù)條件列出方程用特征線法，取z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a),,w==，從而如果年齡為的種群的死亡率為隨機(jī)過程，與前述類似分析有，同上用特征線法，取z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a),,w==初始分布為f（a-t），然后乘以積分因子，，其中從0到t的積分表示出生造成的增量，從0到t的積分表示死亡造成的減量，相乘得出在t時(shí)的年齡為a的種群密度。應(yīng)用偏微分方程大型作業(yè)二：熱傳導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)分析和數(shù)值模擬將長(zhǎng)為50厘米的細(xì)棒放置在蒸氣中直到整個(gè)棒的溫度

3、都為100度，細(xì)棒的側(cè)面絕熱，在初始時(shí)刻，將棒的兩端浸入零度的冰中。如果棒的材料為鐵或混凝土，試計(jì)算一個(gè)半小時(shí)后，細(xì)棒中點(diǎn)的溫度。已知鐵和混凝土的熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為和。試用MATLAB工具近似分析溫度分布函數(shù)的圖形特點(diǎn)及其物理意義。解：根據(jù)條件列方程如下：，解得，（n=1,2,3…），，，，結(jié)合初始條件，，對(duì)中點(diǎn)求在一個(gè)半小時(shí)后的溫度：使用matlab命令計(jì)算級(jí)數(shù)：u=0;forn=1:99999u=u+200/n/pi*[1-(-1)^n]*sin(n*pi/50*25)*exp(-0.0415*n*n*pi*pi/2500*5400);endu計(jì)算結(jié)果：>>jisuanu=

4、52.5488>>即為52.5488攝氏度。Matlab作圖如下U（t，25）：隨時(shí)間遞增，x=25cm處溫度下降曲線U（1800，x）：在t=1800s，細(xì)棒溫度分布曲線U（t，x）在最終T=1800時(shí)，溫度曲面變化示意圖U（t，x）在最終T=30000時(shí)，溫度曲面變化示意圖應(yīng)用偏微分方程大型作業(yè)三：彈撥弦的能量分析眾所周知，許多音樂設(shè)備都是通過弦的振動(dòng)產(chǎn)生聲音的，在某種給定頻率下，振動(dòng)通過空氣傳送到聽眾的耳朵。例如，中音C就是一種頻率約為256赫茲的音調(diào)。當(dāng)幾種不同的音調(diào)同時(shí)聽到時(shí)形成諧音。聲音的大小取決于振動(dòng)弦的總能量（動(dòng)能和勢(shì)能）。設(shè)有長(zhǎng)為，兩端固定且緊繃著的弦，將其

5、中點(diǎn)向上拉動(dòng)，使其在離開平衡位置處靜止不動(dòng)，在時(shí)刻時(shí)放手使弦作縱向振動(dòng)。試證明，此弦振動(dòng)產(chǎn)生的聲音中，由基頻發(fā)出的基音的能量約占總能量的，而第二諧頻發(fā)出的泛音的能量約占。解：用分離變量法解得，，，而，所以。其中（u2=0），駐波對(duì)應(yīng)能量。，，時(shí)間T取兩周期的最小公倍數(shù)2L/a，對(duì)動(dòng)能，，，進(jìn)一步可推出此積分與n無關(guān)，動(dòng)能=。勢(shì)能=，=。從以上推導(dǎo)易證駐波能量與n^2成反比的關(guān)系。n為偶數(shù)時(shí)波動(dòng)為零，第二諧頻為n=3.用matlab計(jì)算所需級(jí)數(shù)的命令為：u=0;forn=0:99999u=u+1/(2*n+1)^2endu得到結(jié)果u=1.2337>>1/1.2337ans=0.

6、8106>>1/9/1.2337ans=0.0901所以得證。