教之目的是學(xué)學(xué)之根本在思

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1、教之目的是學(xué)學(xué)之根本在思----談基于數(shù)學(xué)主動(dòng)性思維培養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)許欽彪浙江省紹興市稽山中學(xué)312000課堂教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要方式，也是數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力的主要表現(xiàn)。從目前的教材、教參、教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)方法過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)還有許多方面值得研究探討和改進(jìn)。比如，現(xiàn)在教學(xué)中比較顯現(xiàn)的是教師主導(dǎo)下的思維活動(dòng)，學(xué)生的思維很大程度上是受引導(dǎo)下的被動(dòng)思維，因?yàn)殡S著提示、啟發(fā)、引導(dǎo)進(jìn)行的思維是有框架的、有約束的和被動(dòng)的，是不夠積極的思想，因而，這種被動(dòng)的思維培養(yǎng)是不夠科學(xué)完整的。授人魚(yú)不如授人漁的道理不僅要理解，更

2、重要的是在具體的課堂教學(xué)實(shí)踐中努力體現(xiàn)。教學(xué)的主體是學(xué)生，課堂教學(xué)應(yīng)該充分關(guān)注學(xué)生主體的主動(dòng)意識(shí)。任何知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)意識(shí)得到的遠(yuǎn)比被動(dòng)接受的影響深遠(yuǎn)、掌握牢固，并會(huì)主動(dòng)熟練地運(yùn)用。思維更是如此，所以數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也應(yīng)該在學(xué)生主體的主動(dòng)性思維上進(jìn)行，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)完整、正確、主動(dòng)、自覺(jué)、合理自然的數(shù)學(xué)思維方法。本文以新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修（人民教育出版社）為主，用幾則教材處理和課堂案例來(lái)分析說(shuō)明主動(dòng)性思維的培養(yǎng)，期盼能拋磚引玉，獲得同行的思考和討論。一.余弦定理推導(dǎo)兩種教學(xué)課例比較第一章1.1.2<一>常見(jiàn)的教學(xué)課例是在

3、教材給出的探究基礎(chǔ)上進(jìn)行的。1.教師給出問(wèn)題：已知的兩邊長(zhǎng)，，、的夾角，求第三邊長(zhǎng)。2.學(xué)生思考，教師給予啟發(fā)：設(shè)計(jì)邊長(zhǎng)的問(wèn)題，可以考慮用向量的數(shù)量積，或解析幾何的兩點(diǎn)距離公式解決。然后師生一起用向量法和坐標(biāo)法二種方法得到余弦公式。點(diǎn)評(píng)：這種教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過(guò)程是在教師根據(jù)教材內(nèi)容安排的啟發(fā)引導(dǎo)形式，而且有許多學(xué)生已預(yù)習(xí)了教材，學(xué)生雖然參與了教學(xué)活動(dòng)，但其探索方式和思維是被動(dòng)的、有約束的，并沒(méi)有自然、主動(dòng)的思維和探究。<二>主動(dòng)性思維教學(xué)課例1.教師給出問(wèn)題：上節(jié)課學(xué)習(xí)了正弦定理，正弦定理可以用來(lái)解三角形，解三角形的基礎(chǔ)

4、思維就是利用圖形找邊角關(guān)系?，F(xiàn)在請(qǐng)大家討論，用邊、、和角、、為條件確定三角形的大小有幾種類(lèi)型？其中哪些可以用正弦定理解決？2.學(xué)生思考討論后，列出了已知某些邊角確定的以下情況：①已知二邊一對(duì)角，求其余邊角；②已知二角一對(duì)邊，求其余邊角；③已知二邊一夾角，求其余邊角；④已知三邊，求其余邊角。其中①②可以用正弦定理解決，但③④用正弦定理還是不能解決的。3.教師對(duì)學(xué)生的思考結(jié)果進(jìn)行小結(jié)并指出：要完整地解決三角形邊角問(wèn)題，僅有正弦定理是不夠的。今天我們就來(lái)共同探討③④類(lèi)問(wèn)題的解決方法。請(qǐng)大家先對(duì)以下③④類(lèi)問(wèn)題的具體形式進(jìn)行思考

5、。③在中，已知邊，和角（如圖），求邊長(zhǎng)；④在中，已知三邊、、，求角。4.學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、研究得出以下幾種主要方法，教師請(qǐng)學(xué)生一一展示自己的方法并整理評(píng)價(jià)。方法一：過(guò)點(diǎn)作高將分成二個(gè)直角三角形，再在中利用勾股定理得到邊角關(guān)系。在中，，，，。這樣就解決了問(wèn)題③。變形為，問(wèn)題④也得到解決。教師評(píng)價(jià)：（1）這個(gè)方法很好，它是上節(jié)正弦定理推導(dǎo)方法思維的連貫延伸，自然地利用了高和直角三角形的勾股定理來(lái)尋求寫(xiě)三角形的邊角關(guān)系，是數(shù)學(xué)中“化陌生為熟悉”的一種重要思維，也是類(lèi)比聯(lián)想思想和數(shù)學(xué)知識(shí)承上啟下應(yīng)用發(fā)展的方式。（2）進(jìn)一步問(wèn)

6、，如果角是鈍角（如圖），結(jié)果是否一樣？（3）問(wèn)題③和問(wèn)題④實(shí)質(zhì)上是逆向命題，屬于同一類(lèi)型，所以可以用同一種方法解決。方法二：利用平面向量方法如圖，，由向量數(shù)量積得到。教師評(píng)價(jià)：（1）這也是一種好方法，這種方法避免了角是銳角、鈍角的討論。（2）從這種方法可見(jiàn)平面向量的重要作用，應(yīng)該掌握向量模就是邊長(zhǎng)，數(shù)量積與向量夾角有關(guān)，從而用向量來(lái)尋找邊角關(guān)系的思想方法。（3）難點(diǎn)是我們平時(shí)用向量比較少，所以能聯(lián)想到向量的同學(xué)不多。其實(shí)，向量運(yùn)算的應(yīng)用比較廣泛，請(qǐng)大家重視和嘗試。方法三：利用直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系如圖則各點(diǎn)坐標(biāo)，，，

7、由兩點(diǎn)之間距離公式得。教師評(píng)價(jià)：（1）把邊長(zhǎng)看成兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離時(shí)，就可以考慮平面解析幾何中兩點(diǎn)之間的距離公式。關(guān)鍵是直角坐標(biāo)系的選取要有利于各個(gè)頂點(diǎn)的表達(dá)。（2）這里的點(diǎn)是根據(jù)三角函數(shù)定義用角表示點(diǎn)的方法，與角的大小無(wú)關(guān)。5.至此，教師整理出余弦定理的一般形式、變化形式，并應(yīng)用于解題。點(diǎn)評(píng)：從教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)實(shí)際情況看，第二種方案學(xué)生的參與度明顯比第一種方案廣，而且從提出解三角形的四類(lèi)問(wèn)題設(shè)計(jì)歸類(lèi)，到余弦定理的探究推導(dǎo)，都是學(xué)生在沒(méi)有啟發(fā)、沒(méi)有框架、無(wú)拘無(wú)束的情況下，自然、自覺(jué)、主動(dòng)地類(lèi)比聯(lián)想思考探究得到的，不但

8、自主地得到了余弦定理，而且思維活躍，影響深刻，掌握牢固，方法靈活，更在思維探究過(guò)程中輕松解決了本節(jié)課的另一個(gè)重要難點(diǎn)問(wèn)題，即解三角形的變形和正弦定理、余弦定理的運(yùn)用類(lèi)型，很好地完成了本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)。從學(xué)生自然意識(shí)主動(dòng)思維得到的方法分析統(tǒng)計(jì)，能想到一種以上方法的學(xué)生數(shù)為，二種方法的，三種方法的。其中方法一的比例最高為，其次是方法二，