數(shù)模授課微分方程

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1、數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型:數(shù)學建模建模主要方法預測問題：1）微分方程2）差分方程3）灰色預測法4）回歸分析法綜合評價：1）層次分析法（決策）2）聚類分析法3）模糊數(shù)學法決策問題：1）對策論2）規(guī)劃方法：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃排隊問題：排隊論優(yōu)化問題：數(shù)學規(guī)劃、圖論數(shù)學

2、、物理問題：數(shù)學、物理方法初等問題：初等方法計算軟件Matlab：數(shù)值計算（最主要）Mathematica：符號計算Lingo/Lindo：數(shù)學規(guī)劃、最優(yōu)化運算Spss/Ps：統(tǒng)計計算全國大學生數(shù)學建模競賽動態(tài)模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規(guī)律預報對象特征的未來性態(tài)研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程傳染病模型姜啟源《數(shù)學模型（第四版）》P1361傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程－如何傳播

3、分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預報傳染病高潮到來的時刻－模型二預防傳染病蔓延的手段－模型三、模型四建模的依據(jù)按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?Model1模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為?,且使接觸的健康人致病建模?~日接觸率SI模型模型21/2tmii010

4、ttm~傳染病高潮到來時刻?(日接觸率)??tm?Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大Model2P138模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為??~日治愈率建模?~日接觸率1/?~感染期?~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)?=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/?i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01?>10ti?>11-1/?i0t?

5、?1di/dt<0P139模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總人數(shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率?,日治愈率?,接觸數(shù)?=?/?建模需建立的兩個方程模型4SIR模型無需求出的解析解在相平面上研究解的性質（14）模型4消去dtSIR模型相軌線P141相軌線的定義域在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析11si0Dsi101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減?相軌線的方向P1s0im3）P1:s0>1/σ?i(t)先升后降至04

6、）P2:s0<1/σ?i(t)單調降至01/σ~閾值P3P4P2S0與x軸相交模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段?(日接觸率)??衛(wèi)生水平??(日治愈率)??醫(yī)療水平?傳染病不蔓延的條件——s0<1/??的估計降低s0提高r0提高閾值1/?降低?(=?/?)??,??群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<

7、前向歐拉法，后向歐拉法，改進的歐拉法）2.龍格-庫塔方法（二三階龍格-庫塔函數(shù)，四五階龍格-庫塔函數(shù)）二.符號積分——《MATLAB基及其銀應用教程》P141三.常微分方程（組）的解析解——《MATLAB基及其銀應用教程》P152參賽隊的三名同學是一個整體，合作完成一篇論文，可謂一榮俱榮，一毀俱毀。賽中涉及的知識很廣泛，需要的能力也很全面，靠一個單打獨斗是不行的。三個方面：數(shù)學、計算機軟件、寫作（整體架構）方面有特長的學生，按照自愿的原則組合在一起，訓練成一個整體。組隊原則（參考）傳染病情況模型一：只感染健康者；模型二

8、：感染者分為健康者和已感染者；模型三：模型二+治療（無免疫）；模型四：模型二+治療（有免疫）；