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《克萊姆法則和證明》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第7節(jié)??克萊姆（Cramer）法則一、線性方程組 元線性方程組是指形式為： ?。?）的方程組，其中代表個未知量，是方程的個數(shù)，，;稱為方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項。 線性方程組的一個解是指由個數(shù)組成的有序數(shù)組，當個未知量分別用代入后，式（1）中每個等式都成為恒等式。方程組（1）的解的全體稱為它的解集合，如果兩個線性方程組有相同的解集合，就稱它們是同解方程組?！ 榱饲蠼庖粋€線性方程組，必須討論以下一些問題： (1).這個方程組有沒有解？ (2).如果這個方程組有解，有多少個解？ (3).
2、在方程組有解時,解之間的關系,并求出全部解?！ ”竟?jié)討論方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等(即)的情形。二、克萊姆法則 定理1（克萊姆法則）如果線性方程組 ???????????（2）的系數(shù)行列式： 那么這個方程組有解，并且解是唯一的，這個解可表示成： （3）其中是把中第列換成常數(shù)項所得的行列式，即 ?！ 》治觯憾ɡ硪还灿?個結(jié)論：方程組有解；解是唯一的；解由公式（3）給出。因此證明的步驟是： 第一，把代入方程組，驗證它確實是解。這樣就證明了方程組有解，并且（3）是一個解，即
3、證明了結(jié)論與?！ 〉诙?，證明如果是方程組（２）的一個解，那么一定有。這就證明了解的唯一性，即證明了結(jié)論。 證明：先回憶行列式的一個性質(zhì)，設階行列式，則有： 接下來證明定理。首先，證明（3）確實是（2）的解。將行列式按第列展開得： ，其中是行列式中元素的代數(shù)余子式。現(xiàn)把代入第個方程的左端，得：這說明將（3）代入第個方程后，得到了一個恒等式，所以（3）是（2）的一個解?！ ∑浯?，設是方程組（2）的一個解，那么，將代入（2）后，得到個恒等式： ?。?）用系數(shù)行列式的第列的代數(shù)余子式依次去乘
4、（4）中個恒等式，得到： 將此個等式相加，得：從而有：。這就是說，如果是方程組（2）的一個解，那么一定有，所以方程組只有一個解。三、齊次線性方程組 在線性方程組中，有一種特殊的線性方程組，即常數(shù)項全為零的方程組，稱為齊次線性方程組。顯然，齊次線性方程組總是有解的，因為就是它的解，這個解稱為零解；其他的，即不全為零的解（如果還有的話），稱為非零解。所以，對于齊次線性方程組，需要討論的問題，不是有沒有解，而是有沒有非零解。這個問題與齊次線性方程組解的個數(shù)是有密切關系的。如果一個齊次線性方程組只有零解，那
5、么這個方程組就只有唯一解；反之，如果某個齊次線性方程組有唯一解，那么由于零解是一個解，所以這個方程組不可能有非零解?！ τ诜匠虃€數(shù)與未知量個數(shù)相同的齊次線性方程組，應用克萊姆法則，有 推論1?如果齊次線性方程組 （5）的系數(shù)行列式不等于零，那么（5）只有零解?！ ⊥普? 齊次線性方程組 有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式等于零。四、例子 例1 解線性方程組 解：方程組的系數(shù)行列式： 所以根據(jù)克萊姆法則，這個線性方程組有唯一解。又因 所以這個線性方程組的唯一解為：
6、 例2 解線性方程組 解：方程組的系數(shù)行列式： 所以根據(jù)克萊姆法則，這個線性方程組有唯一解。又因 所以這個線性方和組的唯一解為： 例3????????已知三次曲線在四個點處的值分別為：，試求其系數(shù)?！ 〗猓簩⑷吻€在4點處的值代入其方程，得到關于的線性方程組： 它的系數(shù)行列式是范德蒙行列式： 所以根據(jù)克萊姆法則，這個線性方程組有唯一解。又因 所以，即所求的三次曲線方程為?！ ±? 如果齊次線性方程組 有非零解，那么必須滿足什么條件？
7、 解：由克萊姆法則知，齊次線性方程組有非零解的必要條件是其系數(shù)行列式等于零，因此有 又由：，從而必須滿足的條件為?！ ∽ⅰ∮每巳R姆法則求解系數(shù)行列式不等于零的元非齊次線性方程組，需要計算個階行列式，它的計算工作量很大。實際上關于數(shù)字系數(shù)的線性方程組（包括系數(shù)行列式等于零及方程個數(shù)和未知量個數(shù)不相同的線性方程組）的解法，一般都采用后續(xù)章節(jié)介紹的方法來求解?？巳R姆法則主要是在理論上具有重要的意義，特別是它明確地揭示了方程組的解和系數(shù)之間的關系。
