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1、圓中“漏解”問題舉隅摘要：圓中產(chǎn)生的兩值問題，是學(xué)生在解答過程中最容易疏忽而出現(xiàn)遺漏的，因而在培養(yǎng)學(xué)牛.思維的縝密性方面起著重要作用。解這類問題，關(guān)鍵是要縝密思考，先作出符合條件的所有圖形。關(guān)鍵詞：圓；對稱；漏解；思維；縝密圓是中心對稱圖形，其對稱性不僅增添了它作為幾何圖形的美學(xué)價值,也增添了它作為幾何概念的思維訓(xùn)練價值。因為由其對稱性產(chǎn)生的一大類兩值問題，恰恰是學(xué)生在解答過程中最容易疏忽而出現(xiàn)漏解的。所以在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性方面，它起著不可或缺的作用。茲擷數(shù)例略作說明：例1:A、B是O0上兩點(diǎn)，K∠AOB=70°,C是
2、?0上不與A、B重合的任意一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)是。解:作出圖1，則∠AOB與∠ACB分別為同弧AB上的圓心角與圓周角。由∠AOB=70°，可得∠ACB=35°0漏解：事實上，A、B兩點(diǎn)將?0分成了優(yōu)弧AB和劣弧AB,點(diǎn)C也可在劣弧AB上，因此可作出圖2，知遺漏一解.在優(yōu)弧AB上任取點(diǎn)C′,連接AC′、BC′,由圓內(nèi)接四邊形ACBC′對角互補(bǔ)可得：∠ACB=180°-35°=145°<>思考題：PA、PC
3、分別切O0于A、C兩點(diǎn)，B為O0上與A、C不重合的一點(diǎn)。若∠P=50°，則∠ABC等于。（提示：木題需考慮B點(diǎn)可位于優(yōu)、劣弧上兩種位置，解答時需用到切線長定理。答案：65°，115°）例2:在半徑為5的圓內(nèi)，有兩條互相平行的弦，一條弦訟是8,另一條弦長是6,則兩條弦之間的距離是。解：作出圖3，在RtAAOE中，0A=5,AE=3,可得0E=4。同理可求得漏解：作出圖4,用與上面同樣的步驟，可求得0E=4,0F=3o因此，AB、CD之間的距離EF=OE+OF=4+3=7o思考題：水平放置的直徑為40c
4、m的圓柱形水管里面有水，從其橫截面上量得水面寬20cm，求水面高。(提示:本題易想到圖5的情況，易遺漏圖6的情況.答案:10cm，30cm)例3:己知OA、OB是O0的半徑并且互相垂直，延長OB到C點(diǎn)，使BC=OB,CD是O0的切線，D為切點(diǎn)，求∠OAD的度數(shù)。解：據(jù)題意作出圖7，AODC為RtAODC，J1OC=2OD,∴∠OCD=30°,從而∠COD=60°，故脊∠AOD=30°。又???AAOD為等腰△，∴∠OAD=(180°-30&
5、deg;)÷2=75°。漏解：據(jù)圓的切線長定理，過圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線，作出圖8.用與上面同樣的步驟，可求得∠COD=60°，故奮∠AOD=150°。又???AAOD為等腰△，∴∠OAD=(180°-150°)÷2=15°o思考題：如圖9,AB是O0的直徑，AC是弦，AB=2,AC=,在圖中畫出弦AD,使AD=1，求∠CAD的度數(shù)。(提示：本題需考慮弦AD可畫在圓被直徑所分成兩部分的每一部分上，因而有兩種情況，如
6、圖9、圖10.答案：15°,105°)例4:己知O0的直徑為14，弦AB=10,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，且OP=5，則AP的長為。解：據(jù)題意作出圖11,連接0A,過點(diǎn)O作OC⊥AB，由垂徑定理，得AC=5。又???0A=7,由勾股定理可得OC=2。XVOP=5,∴在RtAOCP中，由勾股定理可得PC=1,從而AP=AC-PC=5—1=4。漏解：據(jù)題意，亦可作出圖12，連接OB,過點(diǎn)O作OC⊥AB，由垂徑定理得BC=5。又*/OB=7,由勾股定理同樣可得OC=2。據(jù)已知0P=5,在RtAOCP中，
7、由勾股定理可算得CP=1,∴AP=AC+CP=5+1=6<>思考題：O0的直徑AB=13,C為?0上一點(diǎn)，CD⊥AB,垂足為DKCD=6,求ad的長。(提示：作出圖13,連接AC、BC,則AACB為RtA,CD為斜邊上的高。解由AD+BD=AB和CD2=AD?BD聯(lián)立的方程組，可得AD=9或AD=4。當(dāng)然，本思考題的解法能自然得出AD的兩個值，但就對本題能完整理解的要求來說，解題者必須認(rèn)識到位置不確定的垂足D點(diǎn)，亦可如圖14，在弦AB上以0為中心的對稱位置，從而事先也應(yīng)能作出圖14。以上我們看到，圓上位置不確定的點(diǎn)
8、，圓中位置不確定的弦，圓的位置不確定的切線，圓中弦上位置不確定的點(diǎn)，都會導(dǎo)致兩解問題的產(chǎn)生。事實上，導(dǎo)致圓中兩解問題產(chǎn)生的因素并不局限于這幾個，如果我們將問題稍作拓展，考慮兩圓相交與相切等情況
