數(shù)學思想方法 解題金鑰匙數(shù)學思想方法總復習

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1、Manwillconquernature.人定勝天.思想□嘉興胡建邦□江山知足長樂數(shù)學數(shù)學思想方法解題金鑰匙著名生物學家達爾文曾經(jīng)說過：“最有價值的知識，就是關于方法的知識.”若有一道數(shù)學題目未解答正確或不知所措，則是由于解題者未掌握思想方法所致，因此，正確理解和掌握數(shù)學思想方法是數(shù)學學習的關鍵.下面將書中的數(shù)學思想方法歸納一下，供同學們復習時參考.一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)(量)與(圖)形相結(jié)合來分析、研究、解決問題的一種思想方法，是數(shù)學中最常用的方法之一.我國著名的數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微.”數(shù)形結(jié)合，相得益彰.利用數(shù)形結(jié)合，可以將所要研究的問題化難

2、為簡，化繁為簡.例1如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是()A.a+b＞0B.ab＞0C.a-b＞0D.

3、a

4、-

5、b

6、＞0評注：用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，就是簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).它對有理數(shù)的絕對值，相反數(shù)等概念以及比較有理數(shù)的大小等具有明顯的直觀性.解析：如圖所示，0＜a＜1，b＜-1，所以a+b＜0,ab＜0,a-b＞0,

7、a

8、-

9、b

10、＜0.故選C.二、分類討論思想某些數(shù)學問題，涉及的概念、法則、性質(zhì)、公式是分類給出的，或在解答過程中出現(xiàn)的條件、結(jié)論不唯一的情況時，會產(chǎn)生幾種可能性，就需要分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論.這種處理問題的思想方法就是分類討論思

11、想，其作用是考查同學們思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解.例2線段AB、BC均在直線l上，若AB=12cm,AC=4cm,M、N分別是AB、AC的中點，則MN的長為_______.評注：分類討論的思想方法是通過對問題進行分類，逐一討論滿足條件的各類情況，來達到問題的全面解決.本題易漏掉點C在線段BA的延長線上這種情況.解析：本題應分兩種情況討論：如圖2，當點C在線段AB上時，如圖3，當點C在線段BA的延長線上時，所以MN的長為4cm或8cm.例3某公園的門票價格規(guī)定如下：某校初一甲、乙兩班共103人（其中甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)）去游樂園，如果兩班都以班為單位分別購票，則一共需付48

12、6元.評注：分類討論極易被忽視，本題因不知乙班到底是多于50人還是少于50人，故應進行分類討論.解：（1）因為103＞100，所以每張門票按4元收費，所以總票額為103×4=412（元），可節(jié)約486-412=47（元）.購票人數(shù)1~50人51~100人100人以上每人門票價5元4.5元4元（2）兩班各有多少名學生？（1）如果兩班聯(lián)合起來，作為一個團體購票，可以節(jié)約多少錢？（2）因為甲、乙兩班共有103人，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)，所以甲班人數(shù)多于51（51＞50）人，乙班有兩種情形：①若乙班少于或等于50人，設乙班有x人，則甲班有（103-x）人，依題意得5x+4.5(103-x)=486.

13、（2）兩班各有多少名學生？解得x=45，所以103-45=58（人）.即甲班有58人，乙班有45人.②若乙班超過50人，設乙班有x人，則甲班有（103-x）人，則4.5x+4.5（103-x）=486.因為此等式不成立，所以這種情況不存在.故甲班有58人，乙班有45人.三、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想可以說是數(shù)學思想方法中的一個核心思想方法，在“有理數(shù)、代數(shù)式、圖形的初步認識”的學習過程中，都涉及了轉(zhuǎn)化的思想方法.如將有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法，將有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法，化陌生為熟悉；又如圖形的展開與折疊，將立體的幾何圖形轉(zhuǎn)化為平面的幾何圖形，化復雜為簡單，從而達到化新為舊，化未知為已知的

14、目的.例4已知m、n為有理數(shù)，則3-(m+n)2的最大值為_____.評注：解決此類問題的關鍵是理解題意，將新知識問題加以轉(zhuǎn)化，靈活套用，運用所學的知識解決問題.解：因為(m+n)2≥0，所以(m+n)2的最小值為0.所以3-(m+n)2的最大值為3.故填3.分析：要使3-(m+n)2取得最大值，只需減式(m+n)2取最小值即可，從而問題轉(zhuǎn)化為確定出(m+n)2的最小值.例5估算的大小應()A.在6.1~6.2之間B.在6.3~6.4之間C.在6.4~6.5之間D.在6.5~6.6之間評注：估算一個帶有根號的無理數(shù)的大小，關鍵是先確定被開方數(shù)處于哪兩個“相鄰”的平方數(shù)之間，通過縮小范圍就可

15、得到無理數(shù)的范圍.四、估算思想解析：因為6.12=37.21，6.22=38.44,6.32=39.69,6.42=40.96,6.52=42.25,6.62=43.56.由此可知6.42＜＜6.52所以6.4＜＜6.5.故選C.五、用字母表示數(shù)的思想用字母表示數(shù)的思想，也就是代數(shù)思想.用含有字母的式子表示現(xiàn)實生活中的數(shù)量關系，使我們從算數(shù)跨進了代數(shù)的大門.我們在小學形成了具體的數(shù)才是數(shù)的概念，而《代數(shù)式》一章一開始的內(nèi)