高二數(shù)學(xué)橢圓第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓位置

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1、高二數(shù)學(xué)橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)精講一.本周教學(xué)內(nèi)容：橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系［知識(shí)點(diǎn)］1.第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。注意：②e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。2.焦半徑及焦半徑公式：橢圓上一個(gè)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做橢圓上這個(gè)點(diǎn)的焦半徑。3.橢圓參數(shù)方程問題：如圖以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN⊥Ox，垂

2、足為N，過點(diǎn)B作BN⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。解：參數(shù)。說明：<1>對(duì)上述方程（1）消參即<2>由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。4.補(bǔ)充5.直線與橢圓位置關(guān)系：（1）相離②求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作l'∥l且l'與橢圓相切）③關(guān)于直線的對(duì)稱橢圓。（2）相切①弦長公式：例1.

3、MA

4、＋2

5、MF

6、取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。分析：這里

7、MP

8、、

9、AP

10、分別表示點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離

11、和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離。解：例2.時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_______________。（2000年全國高考題）分析：可先求∠F1PF2＝90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：法一法二小結(jié)：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式，三角函數(shù)，解不等式知識(shí)及推理、計(jì)算能力。例3.弦所在的直線方程。分析：本例的實(shí)質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進(jìn)一步的研究。解：法一法二法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A（x，y），由于中點(diǎn)為M（2，1），法四例4.的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）

12、？解：法一法二例5.（2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形ABCD的最大面積。分析：題（1）解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2，轉(zhuǎn)化為值，解題時(shí)可結(jié)合圖形思考。得最大值為25，最小值為16。題（2）可將四邊形ABCD的面積分為兩個(gè)三角形的面積求解，由于AC是定線段，故長度已定，則當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)D到AC所在直線距離最大時(shí)，兩個(gè)三角形的面積最大，此時(shí)解：（2）由題意得A（5，0），C（0，4），則直線AC方程為：4x＋5y－20例6.分線與x軸相交于點(diǎn)P

13、（x0，0）。（1992年全國高考題）分析：證明：法一法二法三這種解題方法通常叫做“端點(diǎn)參數(shù)法”或叫做“設(shè)而不求”。例7.解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為解法二：小結(jié)：橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問題的一個(gè)工具，但不是所有與橢圓有關(guān)的問題必須用參數(shù)方程來解決。【模擬試題】1.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是是橢圓上的任一點(diǎn)，求證：率。2.在橢圓上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍。3.橢圓的長軸長是___________。4.橢圓，離心率，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程。5.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，1）

14、，與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是，離心率為，求橢圓的方程。6.已知點(diǎn)P在橢圓上，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍。7.在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），過點(diǎn)A的直線l的斜率為－1，且與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)恰好是A，試求橢圓方程。8.已知橢圓，在橢圓上求一點(diǎn)M，使它到兩焦點(diǎn)距離之積為16。9.如圖，已知曲線，點(diǎn)A在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)C（6，4），以AC為對(duì)角線作矩形ABCD，使AB∥x軸，AD∥y軸，求矩形ABCD的面積最小時(shí)點(diǎn)A坐標(biāo)。[參考答案]1.證明：的兩焦點(diǎn)，相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是?！邫E圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相

15、應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)橢圓的離心率，∴?；喌?。點(diǎn)評(píng)：都是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑，稱作焦半徑公式，結(jié)合這兩個(gè)公式，顯然到焦點(diǎn)距離最遠(yuǎn)（近）點(diǎn)為長軸端點(diǎn)。2.解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)?！邫E圓的準(zhǔn)線方程為，∴∵因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)評(píng)：解決橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離（焦半徑）問題，常利用橢圓的第二定義或焦半徑公式。如果利用焦半徑公式，應(yīng)先利用第二定義證明焦半徑公式。3.解析：橢圓的方程可寫成，∴①一個(gè)焦點(diǎn)是（－1，1），相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是，②由①、②得。4.解：

16、∵橢圓的長軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短，∴又，∴橢圓的方程為5.解：設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，1），與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是，離心率為，∴∴，即為所求。6.解：設(shè)P，橢圓的準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)則∵，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)因此，的取值范圍是7.解：設(shè)直線l的方程為得，由已知，，解得，8.解：設(shè)M（x，y），由橢圓方程得，故，∴x=±5。代入橢圓方