橢圓性質(zhì)定義參數(shù)方程

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1、學(xué)有方-大不同學(xué)大教育橢圓性質(zhì)、第二定義、參數(shù)方程一、由橢圓方程()研究橢圓的性質(zhì).(1)范圍:從標(biāo)準(zhǔn)方程得出,,即有,，可知橢圓落在組成的矩形中．(2)對(duì)稱性:把方程中的換成方程不變，圖象關(guān)于軸對(duì)稱．換成方程不變，圖象關(guān)于軸對(duì)稱．把同時(shí)換成方程也不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如果曲線具有關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，則它一定具有第三種對(duì)稱（3）頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)因此橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：，加兩焦點(diǎn)共有六個(gè)特殊點(diǎn).叫橢圓的長(zhǎng)軸，叫橢圓的短軸．長(zhǎng)分別為分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對(duì)稱

2、軸的交點(diǎn).(4)離心率:概念：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，決定橢圓的圓扁程度定義式：范圍：考察橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特例7學(xué)有方-大不同學(xué)大教育講解范例：例1求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程所以，，因此，橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)和短軸的長(zhǎng)分別為，離心率，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是，將已知方程變形為，根據(jù)，在的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：01234543.93.73.2

3、2.40先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓：例2在同一坐標(biāo)系中畫出下列橢圓的簡(jiǎn)圖：　　　?。?）　　（2）答：簡(jiǎn)圖如下：7學(xué)有方-大不同學(xué)大教育課堂練習(xí)：1．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分為:兩段，求其離心率解：由題意，=:,即,解得2．如圖，求橢圓,()內(nèi)接正方形ABCD的面積解由橢圓和正方形的中心對(duì)稱性知，正方形BFOE的面積是所求正方形面積的1/4,且B點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，故設(shè)B（),代入橢圓方程求得,即正方形ABCD面積為二、橢圓的第二定義:一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡

4、叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率2．橢圓的準(zhǔn)線方程對(duì)于，相對(duì)于左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線；相對(duì)于右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線7學(xué)有方-大不同學(xué)大教育對(duì)于，相對(duì)于下焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線；相對(duì)于上焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線準(zhǔn)線的位置關(guān)系：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）講解范例：例3、　求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：（1）(2)解：⑴方程可化為，是焦點(diǎn)在軸上且，的橢圓所以此橢圓的準(zhǔn)線方程為⑵方程是焦點(diǎn)在軸上且，的橢圓所以此橢圓的準(zhǔn)線方程為例4、橢圓上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為10，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離解：橢圓的離心率為，根據(jù)橢圓的第二定義得，點(diǎn)P到

5、橢圓的左焦點(diǎn)距離為再根據(jù)橢圓的第一定義得，點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20－8＝127學(xué)有方-大不同學(xué)大教育課堂練習(xí)：1．求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程（1）　　　　　（2）答案：⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)；準(zhǔn)線方程⑵焦點(diǎn)坐標(biāo)；準(zhǔn)線方程2．已知橢圓的兩條準(zhǔn)線方程為，離心率為，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案：二、橢圓的焦半徑公式：設(shè)是橢圓的一點(diǎn),和分別是點(diǎn)與點(diǎn),的距離.那么（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率同理有焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）注意：焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān)可以記為：左加右

6、減，上減下加講解范例例6、橢圓，其上一點(diǎn)P(3,)到兩焦點(diǎn)的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程解：由橢圓的焦半徑公式，得，解得，從而有所求橢圓方程為7學(xué)有方-大不同學(xué)大教育課堂練習(xí)：1．P為橢圓上的點(diǎn)，且P與的連線互相垂直，求P解：由題意，得＝64，P的坐標(biāo)為，，，2．橢圓上不同三點(diǎn)與焦點(diǎn)F(4,0)的距離成等差數(shù)列，求證證明：由題意，得＝23．設(shè)P是以0為中心的橢圓上任意一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切證明：設(shè)橢圓方程為,()，焦半徑是圓的直徑，則由知，兩圓半徑之差等于圓心距，所以，以線段為直徑的圓

7、與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切問題：如圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以()為半徑作兩個(gè)圖，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作NA⊥OX垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M．求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程解答：設(shè)A的坐標(biāo)為，取為參數(shù)，那么也就是這就是所求點(diǎn)A的軌跡的參數(shù)方程將變形為7學(xué)有方-大不同學(xué)大教育發(fā)現(xiàn)它可化為，說明A的軌跡是橢圓四、.橢圓的參數(shù)方程注意：角不是角三、講解范例：例1把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為參數(shù)方程(1)(2)解：(1)(2)例2已知橢圓上的點(diǎn)P(),求的取值范圍.解：＝例3已知橢圓與軸的

8、正半軸交于A,O是原點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)M,使MA⊥MO,求橢圓離心率的取值范圍解：A(,0)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），由MA⊥MO得化簡(jiǎn)得所以課堂練習(xí)：1．參數(shù)方程表示的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是:離心率是:答案：；7