橢圓地定義與性質(zhì)

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案橢圓的定義與性質(zhì)1．橢圓的定義(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于

2、F1F2

3、)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做焦距．(2)第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e(0b>0)＋＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y

4、≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b,0)，B2(b,0)焦點(diǎn)F1(－c,0)F2(c,0)F1(0，－c)F2(0，c)準(zhǔn)線l1：x＝－l2：x＝l1：y＝－l2：y＝軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)1．(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(

5、－2,0)，B(2,0)的距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．(　　)(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)(4)已知點(diǎn)F為平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，直線l為平面內(nèi)的一條定直線．設(shè)d為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定直線l的距離，若d＝

6、PF

7、，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓．(　　)[解析]　(1)錯(cuò)誤，

8、PA

9、＋

10、PB

11、＝

12、AB

13、＝4，點(diǎn)P的軌跡為線段AB；(2)正確，根據(jù)橢圓的第一定義知PF1＋PF2＝2a，F(xiàn)1F

14、2＝2c，故△PF1F2的周長為2a＋2c；(3)錯(cuò)誤，橢圓的離心率越大，橢圓越扁．(4)正確，根據(jù)橢圓的第二定義．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．(教材習(xí)題改編)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m＝________.[解析]　由題設(shè)知a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝＝＝()2＝，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案]　33．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－6)，(0,6)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為20，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．[解析]　橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝6,2a＝20，∴

15、a＝10，b2＝a2－c2＝64，故橢圓方程為＋＝1.[答案]?。?4．(2014·無錫質(zhì)檢)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積是________．[解析]　直線x＝m過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，△FAB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a＝8，此時(shí)，

16、AB

17、＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.[答案]　35．(2014·江西高考)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于

18、________．[解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則∴＋＝0，∴＝－·.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.[答案]　考向1　橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】　(1)(2014·全國大綱卷改編)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4，則C的方程為________．(2)(2014·蘇州質(zhì)檢)橢圓的中心

19、在原點(diǎn)，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x＝－4，則該橢圓的方程為________．[解析]　(1)由條件知△AF1B的周長＝4a＝4，∴a＝.∵e＝＝，c2＋b2＝a2，∴c＝1，b＝.∴橢圓C的方程為＋＝1.(2)∵橢圓的一條準(zhǔn)線為x＝－4，∴焦點(diǎn)在x軸上且＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，∴該橢圓方程為＋＝1.[答案]　(1)＋＝1　(2)＋＝1,【規(guī)律方法】　(1)一般地，解決與到焦點(diǎn)的距離有關(guān)問題時(shí)，首先應(yīng)考慮用定義來解決．(2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，

20、結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．【變式訓(xùn)練1】　(1)(2013·廣東高考改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是______