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1、橢圓的定義與性質(zhì)1．橢圓的定義(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于
2、F1F2
3、)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離叫做焦距．(2)第二定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e(0b>0)＋＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(
4、a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b,0)，B2(b,0)焦點F1(－c,0)F2(c,0)F1(0，－c)F2(0，c)準(zhǔn)線l1：x＝－l2：x＝l1：y＝－l2：y＝軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點1．(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)動點P到兩定點A(－2,0)，B(2,0)的距離之和為4，則點P的軌跡是橢圓．( )(2
5、)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．( )(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．( )(4)已知點F為平面內(nèi)的一個定點，直線l為平面內(nèi)的一條定直線．設(shè)d為平面內(nèi)一動點P到定直線l的距離，若d＝
6、PF
7、，則點P的軌跡為橢圓．( )[解析] (1)錯誤，
8、PA
9、＋
10、PB
11、＝
12、AB
13、＝4，點P的軌跡為線段AB；(2)正確，根據(jù)橢圓的第一定義知PF1＋PF2＝2a，F(xiàn)1F2＝2c，故△PF1F2的周長為2a＋2c；(3)錯誤，橢圓的離心率越大，橢圓越扁．(4)正
14、確，根據(jù)橢圓的第二定義．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材習(xí)題改編)焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m＝________.[解析] 由題設(shè)知a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝＝＝()2＝，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案] 33．橢圓的焦點坐標(biāo)為(0，－6)，(0,6)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為20，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．[解析] 橢圓的焦點在y軸上，且c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2＝a2－c2＝64，故橢圓方程為＋＝1.[答案] ＋＝14．(2014·無錫質(zhì)檢)橢圓＋＝1的左焦
15、點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B，當(dāng)△FAB的周長最大時，△FAB的面積是________．[解析] 直線x＝m過右焦點(1,0)時，△FAB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a＝8，此時，
16、AB
17、＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.[答案] 35．(2014·江西高考)過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________．[解析] 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則∴＋＝0，∴＝－·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－
18、＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.[答案] 考向1 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】 (1)(2014·全國大綱卷改編)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為________．(2)(2014·蘇州質(zhì)檢)橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x＝－4，則該橢圓的方程為________．[解析] (1)由條件知△AF1B的周長＝4a＝4，∴a＝.∵e＝＝，c2＋b2＝a2，∴c＝1，b
19、＝.∴橢圓C的方程為＋＝1.(2)∵橢圓的一條準(zhǔn)線為x＝－4，∴焦點在x軸上且＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，∴該橢圓方程為＋＝1.[答案] (1)＋＝1 (2)＋＝1,【規(guī)律方法】 (1)一般地，解決與到焦點的距離有關(guān)問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解決．(2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋
20、By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．【變式訓(xùn)練1】 (1)(2013·廣東高考改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是________．(2)(2014·蘇州質(zhì)檢)已知橢圓的方程是＋
