橢圓的定義及幾何性質(zhì)

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1、橢圓【教學(xué)目標(biāo)】（1）掌握橢圓的定義（2）掌握橢圓的幾何性質(zhì)（3）掌握求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)重難點(diǎn)】（1）橢圓的離心率有關(guān)的問題（2）橢圓焦點(diǎn)三角形面積的求法【教學(xué)過程】一、知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義　　平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距?！　∽⒁猓喝?，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；　　　　　若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形。知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　　1．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；　　2．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：　　1

2、．只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；　　2．在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；　　3．橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)　　橢圓的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性　　對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成―x，或把y換成―y，或把x、y同時(shí)換成―x、―y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。講練結(jié)合：（2）范圍　　橢圓上所有的點(diǎn)

3、都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

4、x

5、≤a，

6、y

7、≤b。（3）頂點(diǎn)　?、贆E圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)?！　、跈E圓（a＞b＞0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（―a，0），　　　A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）?！　、劬€段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，

8、A1A2

9、=2a，

10、B1B2

11、=2b。a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率　　①橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作?！　、谝?yàn)閍＞c＞0，所以e的

12、取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：　　　　　　　?。?），，；　?。?），，；　（3）,，；知識(shí)點(diǎn)四：橢圓與（a＞b＞0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，，注意：橢圓，（a＞b＞0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相

13、同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。二、考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：橢圓的定義【例1】方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是?！纠?】已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

14、PF1

15、+

16、PF2

17、=16，則點(diǎn)P的軌跡為（）A圓B橢圓C線段D直線【變式訓(xùn)練】已知橢圓=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為?？键c(diǎn)二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】若橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5，1)，(3，2)則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?！纠?】的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡．

18、【例5】求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式訓(xùn)練】1、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。2、焦點(diǎn)在軸上，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。3、已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．考點(diǎn)三：利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)【例6】若方程+=1（1）表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值是.（2）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.（3）表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓，則實(shí)數(shù)k

19、的取值范圍是.（4）表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【例7】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于，短軸長(zhǎng)等于,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,焦距是，離心率等于。【變式訓(xùn)練】1、橢圓的焦距為，則=。2、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么?？键c(diǎn)四：離心率的有關(guān)問題一、求離心率1、用定義（求出a,c或找到c/a）求離心率（1）已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn).則橢圓的離心率。（2）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（）（3）橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若

20、AF1

21、，

22、F1F2

23、，

24、

25、F1B

26、成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_______________.（4）在給定的橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為1，則該橢圓的離心率為。2、根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造a、c的齊次式方程，解出e。（1）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓