橢圓的定義及幾何性質(zhì)題庫

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1、橢圓的定義及幾何性質(zhì)考點(diǎn)突破：圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)多以基礎(chǔ)題為主，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，難度不大?？疾樾问揭皇嵌x及基本性質(zhì)為主的客觀題，是容易題；二是以綜合題的形式考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)，中檔題。預(yù)計(jì)2015考查橢圓、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，雙曲線的的標(biāo)準(zhǔn)方程技幾何性質(zhì)較大。復(fù)習(xí)中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同時(shí)注意運(yùn)算中的減負(fù)如設(shè)而不求，活用定義，妙用平面的幾何性質(zhì)等，勇于聯(lián)想、探索、大膽實(shí)踐，提升解題能力。題型一：橢圓的定義及其應(yīng)用1、判斷軌跡：例：已知是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，且則

2、點(diǎn)M的軌跡為（）A．橢圓B.直線C.圓D.線段分析：緊扣橢圓的定義。解：由題意得，且則所以點(diǎn)M的軌跡為線段。點(diǎn)評(píng)：求軌跡與軌跡方程的注意事項(xiàng)(1)求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變．(2)求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解(即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上)，又要檢驗(yàn)是否丟解(即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示)．檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形．變式：1已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，則．【知識(shí)點(diǎn)】

3、橢圓的定義解：因?yàn)?4a=20，，所以=8.【思路點(diǎn)撥】在圓錐曲線中，當(dāng)遇到圓錐曲線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的關(guān)系問題時(shí)，注意應(yīng)用其定義建立等量關(guān)系進(jìn)行解答.2、利用定義例：已知橢圓＋＝1與雙曲線－y2＝1的公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值為(　　)．A.B.C.D.[審題視點(diǎn)]結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求．B　[因點(diǎn)P在橢圓上又在雙曲線上，所以

4、PF1

5、＋

6、PF2

7、＝2，

8、PF1

9、－

10、PF2

11、＝2.設(shè)

12、PF1

13、＞

14、PF2

15、，解得

16、PF1

17、＝＋，

18、PF2

19、＝－，12由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝

20、.]方法錦囊：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，要自覺地運(yùn)用橢圓、雙曲線的定義．涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，常利用定義轉(zhuǎn)化到拋物線的準(zhǔn)線的距離．變式：1、(2011·青島模擬)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________.[審題視點(diǎn)]關(guān)鍵抓住點(diǎn)P為橢圓C上的一點(diǎn)，從而有

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝2a，再利用⊥，進(jìn)而得解．解析　由題意知

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、＝2a，⊥，∴

29、PF1

30、2＋

31、PF2

32、2＝

33、F1F2

34、2＝4c2，∴(

35、PF1

36、＋

37、P

38、F2

39、)2－2

40、PF1

41、

42、PF2

43、＝4c2，∴2

44、PF1

45、

46、PF2

47、＝4a2－4c2＝4b2.∴

48、PF1

49、

50、PF2

51、＝2b2，∴S△PF1F2＝

52、PF1

53、

54、PF2

55、＝×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案　3方法總結(jié)：橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求

56、PF1

57、·

58、PF2

59、；通過整體代入可求其面積等．2、已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是(　　)．A．2B．6C．4D．12解析　由橢圓的定

60、義知：

61、BA

62、＋

63、BF

64、＝

65、CA

66、＋

67、CF

68、＝2a，∴周長為4a＝4(F是橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn))．答案　C3、已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為(　　)A．6B．5C．4D．3解析：選A由橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6.4、已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于兩點(diǎn)，△AF1B的內(nèi)切圓的周長為，則為(　　)解析：選A由橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝20，△AF1B的面積為S，3、轉(zhuǎn)化定

69、義12例：設(shè)橢圓＋＝1和雙曲線－x2＝1的公共焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則

70、PF1

71、·

72、PF2

73、的值等于________．解析：焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得

74、PF1

75、＋

76、PF2

77、＝2，

78、

79、PF1

80、－

81、PF2

82、

83、＝2兩式平方相減得4

84、PF1

85、

86、PF2

87、＝4×3，

88、PF1

89、·

90、PF2

91、＝3.知識(shí)總結(jié)：要深刻理解橢圓的定義，其定義是由橢圓上得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的，只要涉及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)（定點(diǎn)）的距離時(shí)多考慮橢圓的定義。變式練習(xí)：1.已知P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，M，N分

92、別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則

93、PM

94、＋

95、PN

96、的最小值為(　　)A．5B．7C．13D．15解析：選B　由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且

97、PF1

98、＋

99、